九州大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
直接計算から$$A^k=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right)$$と予想できる。実際、この式が $k$ で成り立つなら$$A^{k+1}=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& k+1\\ 0& 1\end{array}\right),$$したがって数学的帰納法により正しい。

よって$$S_n=\left(\begin{array}{cc}n& {\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\\ 0& n\end{array}\right)\mathrm{.}$$さらに$$\sum _{m=1}^n{\displaystyle \frac{m(m+1)}{2}}={\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6}}$$だから$$T_n=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}& {\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6}}\\ 0& {\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)$$S_n^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{n}}& -{\displaystyle \frac{n+1}{2n}}\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{n}}\end{array}\right)$$なので$$X=S_n^{-1}{T}_n\mathrm{.}$$積を計算すると、右上成分は$${\displaystyle \frac{(n+1)(n+2)}{6}}-{\displaystyle \frac{(n+1{)}^2}{4}}=-{\displaystyle \frac{n^2-1}{12}}\mathrm{.}$$したがって$$X=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{n+1}{2}}& -{\displaystyle \frac{n^2-1}{12}}\\ 0& {\displaystyle \frac{n+1}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$\enlargethispage{4\baselineskip}

$A=I+N$、$N^2=O$ と分解し、積の展開を一段で止める。$S_n,T_n,X$ を $I,N$ の1次結合として扱い、係数を比較する。

(1) $$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$と置くと $A=I+N$、$N^2=O$ である。したがって積を展開したとき $N^2$ 以上の項は消え、$$A^k=(I+N{)}^k=I+kN\mathrm{.}$$よって$$S_n=nI+{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}N$$であり、さらに$$T_n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}I+{\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6}}N\mathrm{.}$$これは解法1の行列表示と同じである。

(2)
次に $X=\alpha I+\beta N$ と置く。$N^2=O$ より$$S_{n}X=n\alpha I+\{n\beta +{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\alpha \}N\mathrm{.}$$これを $T_n$ と比較すると$$n\alpha ={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}},$$よって$$\alpha ={\displaystyle \frac{n+1}{2}}\mathrm{.}$$また $N$ の係数から$$n\beta +{\displaystyle \frac{n(n+1{)}^2}{4}}={\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6}},$$したがって$$\beta =-{\displaystyle \frac{n^2-1}{12}}\mathrm{.}$$ゆえに$$X=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{n+1}{2}}& -{\displaystyle \frac{n^2-1}{12}}\\ 0& {\displaystyle \frac{n+1}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$