九州大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $n$ 回目に白球が出たとき、$n+1$ 回目はつぼ $A$ から取り出す。つぼ $A$ で白球が出る確率は $a\mathrm{/}(a+b)$、赤球が出る確率は $b\mathrm{/}(a+b)$ である。

また、$n$ 回目に赤球が出たとき、$n+1$ 回目はつぼ $B$ から取り出す。つぼ $B$ で白球が出る確率は $b\mathrm{/}(a+b)$、赤球が出る確率は $a\mathrm{/}(a+b)$ である。

したがって $$p_{n+1}={\displaystyle \frac{a}{a+b}}{p}_n+{\displaystyle \frac{b}{a+b}}{q}_n$$ および $$q_{n+1}={\displaystyle \frac{b}{a+b}}{p}_n+{\displaystyle \frac{a}{a+b}}{q}_n$$ である。よって$$A={\displaystyle \frac{1}{a+b}}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)$$である。

(2)
最初はつぼ $A$ から取り出すので $$p_1={\displaystyle \frac{a}{a+b}},q_1={\displaystyle \frac{b}{a+b}}$$ である。また常に $p_n+q_n=1$ である。

次に差を取ると、(1)の漸化式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_{n+1}-q_{n+1}}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{a}{a+b}}-{\displaystyle \frac{b}{a+b}})p_n+({\displaystyle \frac{b}{a+b}}-{\displaystyle \frac{a}{a+b}})q_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}(p_n-q_n)\mathrm{.}}\end{array}$$さらに $$p_1-q_1={\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}$$ であるから、$$p_n-q_n={\left({\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}\right)}^n$$ である。

和と差を用いて $$2p_n=(p_n+q_n)+(p_n-q_n)$$ だから、$$p_n={\displaystyle \frac{1}{2}}\{1+{\left({\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}\right)}^n\}$$である。

ここで $a>0,b>0$ より $$\mid {\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}\mid <1$$ である。したがって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\left({\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}\right)}^n=0$$ となり、$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

$q_n=1-p_n$ を用いて一次漸化式へ落とす。定常値 $1\mathrm{/}2$ との差を取れば等比数列になり、一般項と極限が直ちに出る。

(1)

条件付き確率から$$\left(\begin{array}{c}{p}_{n+1}\\ q_{n+1}\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{a+b}}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)\mathrm{.}$$これが求める行列である。

(2)

$q_n=1-p_n$ を代入すると$$p_{n+1}={\displaystyle \frac{b}{a+b}}+{\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}{p}_n\mathrm{.}$$定常値 $1\mathrm{/}2$ を引けば$$p_{n+1}-{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}(p_n-{\displaystyle \frac{1}{2}})\mathrm{.}$$$p_1=a\mathrm{/}(a+b)$ だから$$p_n={\displaystyle \frac{1}{2}}\{1+{\left({\displaystyle \frac{a-b}{a+b}}\right)}^n\}\mathrm{.}$$$a,b>0$ より比の絶対値は1未満なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$