九州大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) 赤球を取り出したときの記録を $+$，白球の記録を $-$ と書く。各回の確率は $$P(+)={\displaystyle \frac{2}{5}},P(-)={\displaystyle \frac{3}{5}}$$ である。 $+$ が $r$ 回，$-$ が $n-r$ 回出たとすると，得られる和は $r-(n-r)=2r-n$ である。これが1に等しいためには $$2r-n=1,r={\displaystyle \frac{n+1}{2}}$$ でなければならない。

したがって，$n$ が偶数のとき $(n+1)\mathrm{/}2$ は整数でないので $P_n=0$ である。 $n$ が奇数のときは，$+$ が $(n+1)\mathrm{/}2$ 回出ればよい。よって$$P_n={}_n{\mathrm{C}}_{(n+1)\mathrm{/}2}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{(n+1)\mathrm{/}2}{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{(n-1)\mathrm{/}2}$$である。

(2) 符号変化が2回以上起こる確率は，全体から「符号変化が0回」と「符号変化が1回」を除いて求める。

符号変化が0回である確率は，すべて $+$ またはすべて $-$ なので ${\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^n$ である。

次に，符号変化が1回だけ起こる確率を求める。変化が $r$ 番目と $r+1$ 番目の間にあるとすると，列は $\underset{r\text{個}}{\underbrace{+\cdots +}}\underset{n-r\text{個}}{\underbrace{-\cdots -}}$ または $\underset{r\text{個}}{\underbrace{-\cdots -}}\underset{n-r\text{個}}{\underbrace{+\cdots +}}$ のどちらかである。したがってその確率は$$\sum _{r=1}^{n-1}\{{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^r{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n-r}+{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^r{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-r}\}$$である。等比数列の和を計算すると$${\displaystyle \frac{12}{5}}\{{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n-1}-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}\}$$となる。

よって$$Q_n=1-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^n-{\displaystyle \frac{12}{5}}\{{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n-1}-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}\}$$である。

和が1となる列は正符号の個数で数える。符号変化については、変化1回で終符号が正・負の確率を漸化式で求める。

$p=2\mathrm{/}5,q=3\mathrm{/}5$ と置く。

(1)
$+$ が $r$ 個なら和は $2r-n$ である。従って $n$ が偶数なら $P_n=0$ である。$n$ が奇数なら $r=(n+1)\mathrm{/}2$ だから$$P_n={}_n{\mathrm{C}}_{(n+1)\mathrm{/}2}{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{(n+1)\mathrm{/}2}{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{(n-1)\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$(2)
変化が1回で最後が $+$ の確率を $X_n$、最後が $-$ の確率を $Y_n$ とすると$$X_{n+1}=p(X_n+q^n),Y_{n+1}=q(Y_n+p^n)\mathrm{.}$$$X_1=Y_1=0$ から$$X_n+Y_n={\displaystyle \frac{12}{5}}\{{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n-1}-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}\}\mathrm{.}$$変化0回の確率は $p^n+q^n$ なので$$Q_n=1-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^n-{\displaystyle \frac{12}{5}}\{{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^{n-1}-{\left({\displaystyle \frac{2}{5}}\right)}^{n-1}\}\mathrm{.}$$