九州大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $X$ と $Y$ は独立である。可能な組を表にすると$$\begin{array}{cccc}X& Y& Z=X-Y& \text{確率}\\ 1& 1& 0& pq\\ 1& 3& -2& p(1-q)\\ a& 1& a-1& (1-p)q\\ a& 3& a-3& (1-p)(1-q)\end{array}$$である。$a>3$ より $a-3>0$、$a-1>0$ なので、これらは $0$ や $-2$ と重ならない。したがって確率分布は$$\begin{array}{ccccc}Z& -2& 0& a-3& a-1\\ P& p(1-q)& pq& (1-p)(1-q)& (1-p)q\end{array}$$である。

(2) $Z<0$ となるのは $X=1,Y=3$ のときだけである。したがって $P(Z\geqq 0)=1-p(1-q)$ である。条件 $P(Z\geqq 0)\leqq \frac{1}{2}$ は $1-p(1-q)\leqq \frac{1}{2}$ すなわち $p(1-q)\geqq \frac{1}{2}$ である。これが成り立つには $p\geqq \frac{1}{2}$ が必要であり、$p>0$ のもとで $q\leqq 1-\frac{1}{2p}$ となる。

よって図示すべき集合は、単位正方形 $0\leqq p,q\leqq 1$ の中で $$\frac{1}{2}\leqq p\leqq 1,0\leqq q\leqq 1-\frac{1}{2p}$$ を満たす部分である。境界 $q=1-\frac{1}{2p}$ は含まれる。

(3)
期待値の線形性より $E(Z)=E(X)-E(Y)$ である。ここで $$E(X)=1\cdot p+a(1-p)=a-(a-1)p,$$ $$E(Y)=1\cdot q+3(1-q)=3-2q$$ だから $E(Z)=a-3-(a-1)p+2q$ である。条件 $E(Z)\geqq 0$ は $a-3-(a-1)p+2q\geqq 0$ すなわち $$q\geqq \frac{(a-1)p-(a-3)}{2}$$ である。

よって図示すべき集合は、単位正方形 $0\leqq p,q\leqq 1$ の中で $$q\geqq \frac{(a-1)p-(a-3)}{2}$$ を満たす部分である。この境界は直線であり、領域はその上側である。

(4)
(2)と(3)を同時に満たす点が存在するためには、ある $p$ が $\frac{1}{2}\leqq p\leqq 1$ を満たし、さらに $\frac{(a-1)p-(a-3)}{2}\leqq 1-\frac{1}{2p}$ となればよい。左辺は(3)の下側境界、右辺は(2)の上側境界である。

この不等式を整理する。$c=a-1$ とおくと、$a>3$ より $c>2$ であり、$a-3=c-2$ である。したがって $\frac{cp-(c-2)}{2}\leqq 1-\frac{1}{2p}$ となる。両辺に $2p>0$ を掛けると $c{p}^2-cp+1\leqq 0$ である。これは $p(cp+\frac{1}{p}-c)\leqq 0$ と同値であり、$p>0$ だから $cp+\frac{1}{p}-c\leqq 0$ を調べればよい。 $g(p)=cp+\frac{1}{p}-c$ とおく。$p\in [\frac{1}{2},1]$ でこの値が0以下になるかを考える。

まず $2<c<4$ のとき、$$p=\frac{1}{\sqrt{c}}$$ は $[\frac{1}{2},1]$ に入る。このとき相加相乗平均、または微分による増減から $g(p)\geqq 2\sqrt{c}-c$ であり、$2<c<4$ では $$2\sqrt{c}-c>0$$ である。したがって条件を満たす点は存在しない。 $c=4$ のとき、$p=\frac{1}{2}$ で $$g\left(\frac{1}{2}\right)=4\cdot \frac{1}{2}+2-4=0$$ となり、条件を満たす点が存在する。 $c>4$ のときも $p=\frac{1}{2}$ で $$g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{c}{2}+2-c=2-\frac{c}{2}<0$$ となるので、条件を満たす点が存在する。

以上より必要十分条件は $c\geqq 4$ である。$c=a-1$ に戻すと $a\geqq 5$ である。

事象 $Z<0$ と期待値を直接計算して二つの $q$ の範囲を得る。(4)の存在条件を $1-cp(1-p)\leqq 0$ に直し、$1\mathrm{/}2\leqq p\leqq 1$ における $p(1-p)$ の最大値 $1\mathrm{/}4$ だけで必要十分条件を決める。

(1)
$a>3$ に注意して4事象を整理すると$$\begin{array}{ccccc}Z& -2& 0& a-3& a-1\\ P& p(1-q)& pq& (1-p)(1-q)& (1-p)q\end{array}\mathrm{.}$$(2)
$Z<0$ は $X=1,Y=3$ だけなので$$P(Z\geqq 0)=1-p(1-q)\mathrm{.}$$条件は$$\frac{1}{2}\leqq p\leqq 1,0\leqq q\leqq 1-\frac{1}{2p}\mathrm{.}$$(3)$$E(Z)=\{a-(a-1)p\}-(3-2q)=a-3-(a-1)p+2q\mathrm{.}$$よって$$q\geqq \frac{(a-1)p-(a-3)}{2}$$となる単位正方形内の領域である。

(4)
$c=a-1>2$ と置く。二つの $q$ の範囲が重なるための条件は、ある
$p\in [1\mathrm{/}2,1]$ に対して$$\frac{cp-(c-2)}{2}\leqq 1-\frac{1}{2p}$$となることである。$2p>0$ を掛けて整理すると$$c{p}^2-cp+1=1-cp(1-p)\leqq 0,$$すなわち $cp(1-p)\geqq 1$ である。
$[1\mathrm{/}2,1]$ では$$p(1-p)=\frac{1}{4}-{(p-\frac{1}{2})}^2\leqq \frac{1}{4}\mathrm{.}$$したがって条件を満たす $p$ が存在するための必要十分条件は $c\mathrm{/}4\geqq 1$、すなわち$$c\geqq 4.$$$c=a-1$ に戻して$$a\geqq 5.$$$a=5$ では $p=1\mathrm{/}2,q=0$ が実際に両条件を満たす。