九州大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $X$ と $Y$ は独立であるから、同時に起こる確率はそれぞれの確率の積で求められる。可能性を表にすると$$\begin{array}{cccc}X& Y& Z=X-Y& \text{確率}\\ 1& 1& 0& pq\\ 1& 3& -2& p(1-q)\\ 5& 1& 4& (1-p)q\\ 5& 3& 2& (1-p)(1-q)\end{array}$$である。したがって $Z$ の確率分布は$$\begin{array}{ccccc}Z& -2& 0& 2& 4\\ P& p(1-q)& pq& (1-p)(1-q)& (1-p)q\end{array}$$である。

(2) $Z<0$ となるのは $X=1,Y=3$ のときだけである。よって $$P(Z\geqq 0)=1-P(Z<0)=1-p(1-q)$$ である。すなわち $P(Z\geqq 0)=1-p+pq$ である。

(3)
期待値の線形性より $E(Z)=E(X)-E(Y)$ である。ここで $$E(X)=1\cdot p+5(1-p)=5-4p,$$ $$E(Y)=1\cdot q+3(1-q)=3-2q$$ だから $E(Z)=2-4p+2q$ である。

(4)
まず $P(Z\geqq 0)\geqq \frac{1}{2}$ は $1-p+pq\geqq \frac{1}{2}$ すなわち $p(1-q)\leqq \frac{1}{2}$ である。$p=0$ ではこの条件は成り立つが、後で見る $E(Z)\leqq 0$ と両立しない。$p>0$ では $q\geqq 1-\frac{1}{2p}$ である。

次に $E(Z)\leqq 0$ は $2-4p+2q\leqq 0$ より $q\leqq 2p-1$ である。$0\leqq q\leqq 1$ と合わせると、この不等式を満たすには $p\geqq \frac{1}{2}$ が必要である。

したがって求める集合は、単位正方形 $$0\leqq p\leqq 1,0\leqq q\leqq 1$$ の中で $$\frac{1}{2}\leqq p\leqq 1,1-\frac{1}{2p}\leqq q\leqq 2p-1$$ を満たす部分である。図では、曲線 $q=1-\frac{1}{2p}$ の上側、直線 $q=2p-1$ の下側、かつ $\frac{1}{2}\leqq p\leqq 1$ の範囲を塗ればよい。境界はすべて含まれる。両境界は $p=\frac{1}{2},q=0$ で接し、$p=1$ では $q=\frac{1}{2}$ から $q=1$ までの縦の線分が領域に含まれる。

確率樹形図で4事象を整理する。(2)以降は事象 $Z<0$ と期待値を直接式にし、二つの境界の大小関係を確かめて、領域の左端・右端・含まれる境界を決める。

(1)
最初の枝を $X=1,5$、次の枝を $Y=1,3$ とする確率樹形図を考える。
独立性から各枝の積を取れば$$\begin{array}{ccccc}Z& -2& 0& 2& 4\\ P& p(1-q)& pq& (1-p)(1-q)& (1-p)q\end{array}$$である。

(2)
$Z<0$ は $X=1,Y=3$ の場合だけなので$$P(Z\geqq 0)=1-p(1-q)=1-p+pq\mathrm{.}$$(3)$$E(X)=p+5(1-p)=5-4p,E(Y)=q+3(1-q)=3-2q$$より$$E(Z)=E(X)-E(Y)=2-4p+2q\mathrm{.}$$(4)
二条件はそれぞれ$$q\geqq 1-\frac{1}{2p},q\leqq 2p-1.$$後者と $q\geqq 0$ から $p\geqq 1\mathrm{/}2$ が必要である。
$1\mathrm{/}2\leqq p\leqq 1$ では$$(2p-1)-(1-\frac{1}{2p})=\frac{(2p-1{)}^2}{2p}\geqq 0,$$だから上下の境界の間には必ず点がある。よって求める領域は$$\frac{1}{2}\leqq p\leqq 1,1-\frac{1}{2p}\leqq q\leqq 2p-1.$$境界を含み、左端は $(1\mathrm{/}2,0)$、$p=1$ では $1\mathrm{/}2\leqq q\leqq 1$ である。