九州大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問（理系 第2問）

(1)
曲線 $C$ は $x\geqq 1$ で $y=x^2-1$ だから、$(1,0)$ から始まり、$Q=(t,t^2-1)$ まで続く。ここで $t\geqq 1$ である。

線分 $PQ$ と $x$ 軸との間にできる三角形を考えると、底辺の長さは $t-a$、高さは $t^2-1$ である。したがってその面積は $\frac{1}{2}(t-a)(t^2-1)$ である。この三角形のうち、曲線 $C$ の下側にある部分、すなわち曲線の下側にある部分を取り除いたものが求める面積 $S$ である。実際、$a\leqq 1$ なので $x$ 軸上の部分は $P$ から $(1,0)$ までを含み、曲線との境界は $x=1$ から $x=t$ までである。

積分を計算すると$${\int }_1^t(x^2-1)dx={[\frac{x^3}{3}-x]}_1^t=\frac{t^3}{3}-t+\frac{2}{3}$$である。よって $$S=\frac{1}{2}(t-a)(t^2-1)-(\frac{t^3}{3}-t+\frac{2}{3})$$ である。

(2)
条件 $t-a=2$ より $a=t-2$ である。$-1\leqq a\leqq 1$ と $t\geqq 1$ から $$-1\leqq t-2\leqq 1,t\geqq 1$$ であり、したがって $1\leqq t\leqq 3$ である。

(1) の式に $t-a=2$ を代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(t)}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 2(t^2-1)-(\frac{t^3}{3}-t+\frac{2}{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{t^3}{3}+t^2+t-\frac{5}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$これを $1\leqq t\leqq 3$ で最大にする。微分すると $$S^{\mathrm{\prime }}(t)=-t^2+2t+1=2-(t-1{)}^2$$ である。したがって $$S^{\mathrm{\prime }}(t)>0(1<t<1+\sqrt{2}),S^{\mathrm{\prime }}(t)<0(1+\sqrt{2}<t\leqq 3)$$ であり、最大は $t=1+\sqrt{2}$ でとる。このとき $a=t-2=\sqrt{2}-1$ であるから $P=(\sqrt{2}-1,0)$ である。また$$Q=(1+\sqrt{2},(1+\sqrt{2}{)}^2-1)=(1+\sqrt{2},2+2\sqrt{2})$$である。

最大値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(1+\sqrt{2})}& {\displaystyle =-\frac{(1+\sqrt{2}{)}^3}{3}+(1+\sqrt{2}{)}^2+(1+\sqrt{2})-\frac{5}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\frac{7+5\sqrt{2}}{3}+(3+2\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})-\frac{5}{3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4\sqrt{2}}{3}\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$P=(\sqrt{2}-1,0),Q=(1+\sqrt{2},2+2\sqrt{2}),S_{\max }=\frac{4\sqrt{2}}{3}$$である。

線分 $PQ$ の式を求め、$[a,1]$ と $[1,t]$ に分けて縦の差を直接積分する。(2)では導関数を因数分解し、最大点・座標・最大値を順に確定する。

(1)
線分 $PQ$ の傾きは$$\frac{t^2-1}{t-a}$$であるから、その上の点の $y$ 座標を表す一次式は$$\mathrm{\ell }(x)=\frac{t^2-1}{t-a}(x-a)$$である。$a\leqq 1\leqq t$ より、面積を縦に切ると$$S={\int }_a^1\mathrm{\ell }(x)dx+{\int }_1^t\{\mathrm{\ell }(x)-(x^2-1)\}dx\mathrm{.}$$二つの一次式部分をまとめると$${\int }_a^t\mathrm{\ell }(x)dx=\frac{1}{2}(t-a)(t^2-1)$$であり、$${\int }_1^t(x^2-1)dx=\frac{t^3}{3}-t+\frac{2}{3}\mathrm{.}$$したがって$$S=\frac{1}{2}(t-a)(t^2-1)-\frac{t^3}{3}+t-\frac{2}{3}\mathrm{.}$$(2)
$t-a=2$ から $a=t-2$ であり、$-1\leqq a\leqq 1$ と $t\geqq 1$ より$$1\leqq t\leqq 3.$$(1)の式は$$S(t)=-\frac{t^3}{3}+t^2+t-\frac{5}{3}\mathrm{.}$$導関数は$$S^{\mathrm{\prime }}(t)=-t^2+2t+1=-\{t-(1+\sqrt{2})\}\{t-(1-\sqrt{2})\}\mathrm{.}$$よって区間 $[1,3]$ では $t=1+\sqrt{2}$ の前で増加し、後で減少する。
最大点では$$a=\sqrt{2}-1,P=(\sqrt{2}-1,0),$$$$Q=(1+\sqrt{2},2+2\sqrt{2})\mathrm{.}$$また代入して$$S_{\max }=\frac{4\sqrt{2}}{3}\mathrm{.}$$