九州大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
表が $k$ 枚出る確率は$$P(K=k)={\displaystyle \frac{{}_m{\mathrm{C}}_k}{2^m}}(k=0,1,\dots ,m)$$である。よって二項定理から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(X)}& {\displaystyle =\sum _{k=0}^m{a}^k{\displaystyle \frac{{}_m{\mathrm{C}}_k}{2^m}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(1+a{)}^m}{2^m}},}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(X^2)}& {\displaystyle =\sum _{k=0}^m{a}^{2k}{\displaystyle \frac{{}_m{\mathrm{C}}_k}{2^m}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(1+a^2{)}^m}{2^m}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{V(X)}{\{E(X){\}}^2}}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{E(X^2)}{\{E(X){\}}^2}}-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2^m(1+a^2{)}^m}{(1+a{)}^{2m}}}-1.}\end{array}$$$E(X)>0$ だから$${\displaystyle \frac{\sqrt{V(X)}}{E(X)}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2^m(1+a^2{)}^m}{(1+a{)}^{2m}}}-1}\mathrm{.}$$(2)$$h(a)={\displaystyle \frac{2(1+a^2)}{(1+a{)}^2}}$$とおくと$$h(a)=1+{\left({\displaystyle \frac{a-1}{a+1}}\right)}^2\mathrm{.}$$$a>0$ では$$-1<{\displaystyle \frac{a-1}{a+1}}<1$$だから$$1\leqq h(a)<2.$$左端は $a=1$ で実現する。右端は $a\to 0+0$ または $a\to \mathrm{\infty }$ で近づくが、有限の正の $a$ では実現しない。よって$$0\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{V(X)}}{E(X)}}<\sqrt{2^m-1}\mathrm{.}$$

各硬貨に対し、表なら $a$、裏なら1をとる確率変数を置くと $X$ はそれらの積になる。独立性により期待値が積に分かれるので、和を展開せずに $E(X)$ と $E(X^2)$ を得る。値域は微分で確認する。

(1)
$i$ 番目の硬貨について$$Y_i=\{\begin{array}{ll}a& (\text{表}),\\ 1& (\text{裏})\end{array}$$とおくと$$X=Y_1{Y}_2\cdots Y_m\mathrm{.}$$各 $Y_i$ は独立であり、$$E(Y_i)={\displaystyle \frac{1+a}{2}},E(Y_i^2)={\displaystyle \frac{1+a^2}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$E(X)=\{E(Y_1){\}}^m={\left({\displaystyle \frac{1+a}{2}}\right)}^m$$であり、$$E(X^2)=\{E(Y_1^2){\}}^m={\left({\displaystyle \frac{1+a^2}{2}}\right)}^m\mathrm{.}$$これを$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$$へ代入すると$${\displaystyle \frac{\sqrt{V(X)}}{E(X)}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2^m(1+a^2{)}^m}{(1+a{)}^{2m}}}-1}\mathrm{.}$$(2)$$h(a)={\displaystyle \frac{2(1+a^2)}{(1+a{)}^2}}$$とおく。微分すると$$h^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{4(a-1)}{(a+1{)}^3}}\mathrm{.}$$よって $0<a<1$ で減少し、$a>1$ で増加する。最小値は$$h(1)=1$$であり、$$\underset{a\to 0+0}{\lim }h(a)=\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }h(a)=2.$$ただし $a>0$ では $h(a)=2$ にならない。したがって$$1\leqq h(a)<2$$であり、求める範囲は$$0\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{V(X)}}{E(X)}}<\sqrt{2^m-1}\mathrm{.}$$