九州大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問（理系 第3問）

(1)
4枚の硬貨で表が裏より多いのは、表が3枚または4枚のときである。したがって1回の試行で右へ進む確率は$${\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_3+{}_4{\mathrm{C}}_4}{2^4}}={\displaystyle \frac{4+1}{16}}={\displaystyle \frac{5}{16}}$$である。左へ進む確率も同じく $5\mathrm{/}16$ であり、停止する確率は $${\displaystyle \frac{{}_4{\mathrm{C}}_2}{2^4}}={\displaystyle \frac{6}{16}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$$ である。

右、左、停止をそれぞれ $R,L,S$ と書く。3回後に右へ1歩の位置にいるには、$R,S,S$ が並ぶ場合、または $R,R,L$ が並ぶ場合である。よって求める確率は$$3\cdot {\displaystyle \frac{5}{16}}{\left({\displaystyle \frac{3}{8}}\right)}^2+3\cdot {\left({\displaystyle \frac{5}{16}}\right)}^3={\displaystyle \frac{540+375}{4096}}={\displaystyle \frac{915}{4096}}$$である。

(2)
右へ3歩の位置にいるのは3回とも $R$ の場合なので、その確率は $${\left({\displaystyle \frac{5}{16}}\right)}^3={\displaystyle \frac{125}{4096}}$$ である。右へ2歩の位置にいるのは $R,R,S$ が並ぶ場合なので、確率は $$3{\left({\displaystyle \frac{5}{16}}\right)}^2{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{450}{4096}}$$ である。右へ1歩の位置にいる確率は (1) より $915\mathrm{/}4096$ である。

したがって得点の期待値は$$1\cdot {\displaystyle \frac{915}{4096}}+2\cdot {\displaystyle \frac{450}{4096}}+3\cdot {\displaystyle \frac{125}{4096}}={\displaystyle \frac{2190}{4096}}={\displaystyle \frac{1095}{2048}}$$である。

1回の変位 $1,0,-1$ と確率を $z$ の式へまとめる。3乗したときの
$z,z^2,z^3$ の係数が右へ1,2,3歩の確率なので、係数を数えて期待値を出す。

1回の変位を表す式は$$F(z)={\displaystyle \frac{5z+6+5z^{-1}}{16}}\mathrm{.}$$したがって3回後の変位分布は $F(z{)}^3$ の係数で読める。

(1)
$z^1$ の係数の分子は$$3\cdot 5\cdot 6^2+3\cdot 5^2\cdot 5=540+375=915$$なので、求める確率は$${\displaystyle \frac{915}{4096}}\mathrm{.}$$(2)
$z^2,z^3$ の係数の分子はそれぞれ$$3\cdot 5^2\cdot 6=450,5^3=125.$$よって期待値は$${\displaystyle \frac{915+2\cdot 450+3\cdot 125}{4096}}={\displaystyle \frac{1095}{2048}}\mathrm{.}$$