九州大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
最終的に選ばれる $k$ 人の集合は全て等確率であり、その総数は$${}_n{\mathrm{C}}_k$$である。まず $k\leqq n-1$ とする。Aさんを除く $n-1$ 人から $k$ 人を選べばよいので$${\displaystyle \frac{{}_{n-1}{\mathrm{C}}_k}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}={\displaystyle \frac{n-k}{n}}\mathrm{.}$$$k=n$ のときは確率0であり、同じ式が0を与える。

(2)
$k\leqq n-2$ なら、AさんとB君を除く $n-2$ 人から $k$ 人を選ぶから$${\displaystyle \frac{{}_{n-2}{\mathrm{C}}_k}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}={\displaystyle \frac{(n-k)(n-k-1)}{n(n-1)}}\mathrm{.}$$$k=n-1,n$ のときは確率0であり、右辺も0となる。

(3)
AさんとB君を含め、残る $k-2$ 人を他の $n-2$ 人から選ぶから$${\displaystyle \frac{{}_{n-2}{\mathrm{C}}_{k-2}}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}={\displaystyle \frac{k(k-1)}{n(n-1)}}\mathrm{.}$$

対称性から1人が選ばれる確率は $k\mathrm{/}n$、選ばれない確率は $(n-k)\mathrm{/}n$ と分かる。1人の結果を固定した後、残り $n-1$ 人について条件付き確率を掛けて2人の事象を求める。

(1)
$n$ 人は対等で、最終的に選ばれる人数は $k$ 人である。したがってAさんが選ばれる確率は $k\mathrm{/}n$ であり、$$P(\text{Aが選ばれない})=1-{\displaystyle \frac{k}{n}}={\displaystyle \frac{n-k}{n}}\mathrm{.}$$(2)
Aさんが選ばれなかったとする。このとき残る $n-1$ 人のうち、委員でない人はAさん以外に $n-k-1$ 人いる。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(\text{AもBも選ばれない})}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n-k}{n}}\cdot {\displaystyle \frac{n-k-1}{n-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n-k)(n-k-1)}{n(n-1)}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
Aさんが選ばれる確率は $k\mathrm{/}n$ である。その条件のもとで、残る $n-1$ 人からB君が残り $k-1$ 人の委員に入る確率は $(k-1)\mathrm{/}(n-1)$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(\text{AもBも選ばれる})}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{k}{n}}\cdot {\displaystyle \frac{k-1}{n-1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{k(k-1)}{n(n-1)}}\mathrm{.}}\end{array}$$この方法では、くじを実際に引く順番にかかわらず、最終的な選出結果だけを条件としている。