九州大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1) $1\leqq k\leqq n$ とする。$X\leqq k$ は，$A$ が最初の $k$ 回のうち少なくとも1回表を出すことと同じである。その余事象は，最初の $k$ 回がすべて裏であることだから $$P(X\leqq k)=1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^k$$ である。同様に $$P(Y\leqq k)=1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^k$$ である。

また $Z$ は $X,Y$ の大きい方なので，$Z\leqq k$ は $$X\leqq k\text{かつ}Y\leqq k$$ と同値である。二人の結果は独立だから$$P(Z\leqq k)=P(X\leqq k)P(Y\leqq k)={\{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^k\}}^2$$である。

(2)
まず $1\leqq k\leqq n$ とする。このとき $$P(Z=k)=P(Z\leqq k)-P(Z\leqq k-1)$$ である。したがって$$P(Z=k)={(1-{\displaystyle \frac{1}{2^k}})}^2-{(1-{\displaystyle \frac{1}{2^{k-1}}})}^2(1\leqq k\leqq n)$$である。なお $k=1$ のときは，$P(Z\leqq 0)=0$ と見れば同じ式で扱える。

また $Z=n+1$ は，少なくとも一方が $n$ 回中に一度も表を出さない場合である。したがって $$P(Z=n+1)=1-P(Z\leqq n)=1-{(1-{\displaystyle \frac{1}{2^n}})}^2$$ である。よって $$P(Z=n+1)=1-{(1-{\displaystyle \frac{1}{2^n}})}^2$$ である。

(3) $Z$ は $1,2,\dots ,n+1$ の値をとる正の整数値の確率変数であるから $$E(Z)=\sum _{k=0}^{n}P(Z>k)$$ を用いる。$k=0,1,\dots ,n$ に対して $P(Z>k)=1-P(Z\leqq k)$ であり，$P(Z\leqq 0)=0$ も $${(1-{\displaystyle \frac{1}{2^0}})}^2=0$$ と見れば同じ式に含められる。よって$$P(Z>k)=1-{(1-{\displaystyle \frac{1}{2^k}})}^2={\displaystyle \frac{2}{2^k}}-{\displaystyle \frac{1}{4^k}}$$である。したがって$$E(Z)=\sum _{k=0}^n({\displaystyle \frac{2}{2^k}}-{\displaystyle \frac{1}{4^k}})$$となる。

等比数列の和を計算すると$$\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{2}{2^k}}=4(1-{\displaystyle \frac{1}{2^{n+1}}})=4-{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}$$であり，$$\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{1}{4^k}}={\displaystyle \frac{4}{3}}(1-{\displaystyle \frac{1}{4^{n+1}}})={\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 4^n}}$$である。したがって $$E(Z)=4-{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 4^n}}$$ より $$E(Z)={\displaystyle \frac{8}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 4^n}}$$ である。

(1) (2) は分布関数の差で求める。(3) では $W=\min (X,Y)$ と置き、恒等式 $Z+W=X+Y$ を使う。$X$ と $W$ の期待値は、それぞれ $P(X>k)$ と $P(W>k)$ の和として単純な等比数列になる。

(1)
$1\leqq k\leqq n$ に対して$$P(X\leqq k)=P(Y\leqq k)=1-{\displaystyle \frac{1}{2^k}}\mathrm{.}$$$Z\leqq k$ は $X\leqq k$ かつ $Y\leqq k$ と同値だから、独立性より$$P(Z\leqq k)={(1-{\displaystyle \frac{1}{2^k}})}^2\mathrm{.}$$(2)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(Z=k)}& {\displaystyle =P(Z\leqq k)-P(Z\leqq k-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2^{k-1}}}-{\displaystyle \frac{3}{4^k}}(1\leqq k\leqq n)\mathrm{.}}\end{array}$$また$$P(Z=n+1)=1-{(1-{\displaystyle \frac{1}{2^n}})}^2={\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}-{\displaystyle \frac{1}{4^n}}\mathrm{.}$$(3)$$W=\min (X,Y)$$とおく。各結果について$$Z+W=X+Y$$なので$$E(Z)=2E(X)-E(W)\mathrm{.}$$$k=0,1,\dots ,n$ に対して$$P(X>k)={\displaystyle \frac{1}{2^k}},P(W>k)=P(X>k,Y>k)={\displaystyle \frac{1}{4^k}}\mathrm{.}$$したがって$$E(X)=\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{1}{2^k}}=2-{\displaystyle \frac{1}{2^n}},$$$$E(W)=\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{1}{4^k}}={\displaystyle \frac{4}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 4^n}}\mathrm{.}$$よって$$E(Z)={\displaystyle \frac{8}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}+{\displaystyle \frac{1}{3\cdot 4^n}}\mathrm{.}$$