九州大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^2=}& {\displaystyle x^4-2(\alpha +\beta )x^3}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +\{(\alpha +\beta {)}^2+2\alpha \beta \}{x}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -2\alpha \beta (\alpha +\beta )x+{\alpha }^2{\beta }^2\mathrm{.}}\end{array}$$$g(x)$ は1次式なので、$x^3,x^2$ の係数を比較して$$-2(\alpha +\beta )=2,(\alpha +\beta {)}^2+2\alpha \beta =-3.$$よって$$\alpha +\beta =-1,\alpha \beta =-2.$$$\alpha <\beta$ より$$\alpha =-2,\beta =1.$$さらに$$(x+2{)}^2(x-1{)}^2=x^4+2x^3-3x^2-4x+4$$だから$$g(x)=4x-4\mathrm{.}$$(2)$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x(2x^2+3x-3)\mathrm{.}$$ここで$$x_1={\displaystyle \frac{-3-\sqrt{33}}{4}},x_2={\displaystyle \frac{-3+\sqrt{33}}{4}}$$とおくと $x_1<0<x_2$ であり、増減表は$$\begin{array}{cccccccccc}x& -\mathrm{\infty }& & x_1& & 0& & x_2& & +\mathrm{\infty }\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& & -& 0& +& 0& -& 0& +& \\ f(x)& & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \end{array}$$となる。特に $x=0$ で極大値 $0$ をとる。

また$$f(x)-g(x)=(x+2{)}^2(x-1{)}^2\geqq 0$$で、等号は $x=-2,1$ のときだけである。したがって直線
$y=4x-4$ は曲線に$$(-2,-12),(1,0)$$で接し、曲線はそれ以外では直線の上側にある。

(3)
求める面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_{-2}^1\{f(x)-g(x)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-2}^1(x+2{)}^2(x-1{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^5}{5}}+{\displaystyle \frac{x^4}{2}}-x^3-2x^2+4x]}_{-2}^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{81}{10}}\mathrm{.}}\end{array}$$

2つの接点の中点を $h$、間隔の半分を $d$ として平方積を $\{(x-h{)}^2-d^2{\}}^2$ と書く。対称な形の係数から $h,d$ を求め、面積も中点を原点へ移して偶関数の積分として計算する。

(1) $$h={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}},d={\displaystyle \frac{\beta -\alpha }{2}}>0$$とおくと$$(x-\alpha )(x-\beta )=(x-h{)}^2-d^2\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^2}& {\displaystyle =\{(x-h{)}^2-d^2{\}}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x^4-4h{x}^3+(6h^2-2d^2)x^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +4h(d^2-h^2)x+(h^2-d^2{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$$f-g$ の $x^3,x^2$ の係数はそれぞれ $2,-3$ だから$$-4h=2,6h^2-2d^2=-3.$$これより$$h=-{\displaystyle \frac{1}{2}},d={\displaystyle \frac{3}{2}}\mathrm{.}$$ゆえに$$\alpha =h-d=-2,\beta =h+d=1.$$差を戻せば$$g(x)=f(x)-(x+2{)}^2(x-1{)}^2=4x-4.$$(2)$$f(x)-g(x)={\{{(x+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2\}}^2$$は常に0以上で、$x=-2,1$ のときだけ0になる。しかも両方とも二重に0となるので、直線 $y=4x-4$ はこの2点で曲線に接する。

曲線自体の増減は$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x(2x^2+3x-3)$$の3つの零点で区切って調べれば、解法1の増減表になる。

(3) $$u=x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$とおくと積分区間は $-3\mathrm{/}2\leqq u\leqq 3\mathrm{/}2$ となる。被積分関数は偶関数だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =2{\int }_0^{3\mathrm{/}2}{(u^2-{\displaystyle \frac{9}{4}})}^{2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[{\displaystyle \frac{u^5}{5}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}{u}^3+{\displaystyle \frac{81}{16}}u]}_0^{3\mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{81}{10}}\mathrm{.}}\end{array}$$