九州大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
交点の条件は$${\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{a}}={\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{b}}\mathrm{.}$$倍角公式と和積公式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle =\cos {\displaystyle \frac{2x}{a}}+\cos {\displaystyle \frac{2x}{b}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\cos \left\{x({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}})\right\}\cos \left\{x({\displaystyle \frac{1}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{b}})\right\}\mathrm{.}}\end{array}$$第1の因子が初めて0になる正の $x$ は$$x={\displaystyle \frac{\pi ab}{2(a+b)}}\mathrm{.}$$第2の因子が与える最小の正の値は、$a\mathrm{\ne }b$ のとき$${\displaystyle \frac{\pi ab}{2\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }}}$$であり、$\mathrm{\mid }a-b\mathrm{\mid }<a+b$ だから前者より大きい。$a=b$ のとき第2の因子は0にならない。したがって$$x={\displaystyle \frac{\pi ab}{2(a+b)}}\mathrm{.}$$(2)
まず$$p={\displaystyle \frac{\pi a}{4}},q={\displaystyle \frac{\pi (a+1)}{4}}\mathrm{.}$$$C_2$ と $C_3$ が最初に交わる点を $r$ とする。(1) に
$b=a+1$ を用いて$$r={\displaystyle \frac{\pi a(a+1)}{2(2a+1)}}\mathrm{.}$$実際、$${\displaystyle \frac{r}{p}}={\displaystyle \frac{2(a+1)}{2a+1}}>1,{\displaystyle \frac{r}{q}}={\displaystyle \frac{2a}{2a+1}}<1$$なので$$p<r<q\mathrm{.}$$また$${\displaystyle \frac{r}{a}}+{\displaystyle \frac{r}{a+1}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$であるため、同じ $r$ で $C_1$ と $C_4$ も交わる。

$p\leqq x\leqq r$ では$${\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq {\displaystyle \frac{x}{a}}<{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{x}{a+1}}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$である。したがってこの区間の上下の境界は $C_2,C_1$ である。一方、$r\leqq x\leqq q$ では$$0<{\displaystyle \frac{x}{a+1}}\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$だから、上下の境界は $C_3,C_4$ である。

よって面積 $S$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S=}& {\displaystyle {\int }_p^r({\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{a}}-{\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{a}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_r^q({\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{a+1}}-{\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{a+1}})dx}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle {\int }_p^r-\cos {\displaystyle \frac{2x}{a}}dx+{\int }_r^q\cos {\displaystyle \frac{2x}{a+1}}dx\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S=}& {\displaystyle {[-{\displaystyle \frac{a}{2}}\sin {\displaystyle \frac{2x}{a}}]}_p^r+{[{\displaystyle \frac{a+1}{2}}\sin {\displaystyle \frac{2x}{a+1}}]}_r^q}\\ {\displaystyle =}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{2}}(1-\sin {\displaystyle \frac{\pi a}{2a+1}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\displaystyle \frac{a+1}{2}}(1-\sin {\displaystyle \frac{\pi a}{2a+1}})\mathrm{.}}\end{array}$$ゆえに$$S={\displaystyle \frac{2a+1}{2}}(1-\sin {\displaystyle \frac{\pi a}{2a+1}})\mathrm{.}$$

最小の正の交点までは角が第1象限にあるため、2乗を外して $\cos u=\sin v$ と考え、$u+v=\pi \mathrm{/}2$ を直接使う。(2) は2つの境界部分を直線 $y=1\mathrm{/}2$ の上下対称な幅として計算する。

(1) $$u={\displaystyle \frac{x}{a}},v={\displaystyle \frac{x}{b}}$$とする。$x>0$ を0から増やすと、$u+v<\pi \mathrm{/}2$ の間は$$\cos u>\sin v\geqq 0$$だから、まだ2曲線は交わらない。最初の交点では$$\cos u=\sin v=\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-v)$$となり、$$u+v={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$したがって$$x({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}})={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$より$$x={\displaystyle \frac{\pi ab}{2(a+b)}}\mathrm{.}$$(2)$$p={\displaystyle \frac{\pi a}{4}},q={\displaystyle \frac{\pi (a+1)}{4}}$$である。$p$ から右へ進むと、$C_2$ と $C_3$ の最初の交点は$${\displaystyle \frac{r}{a}}+{\displaystyle \frac{r}{a+1}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$を満たすから$$r={\displaystyle \frac{\pi a(a+1)}{2(2a+1)}}\mathrm{.}$$このとき$$C_2(r)=C_3(r),C_1(r)=C_4(r)$$である。

各組は$$C_1+C_2=1,C_3+C_4=1$$を満たすので、直線 $y=1\mathrm{/}2$ に関して上下対称である。したがって求める面積は、上半分の面積を2倍して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S=2\{}& {\displaystyle {\int }_p^r({\sin }^2{\displaystyle \frac{x}{a}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_r^q({\cos }^2{\displaystyle \frac{x}{a+1}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})dx\}\mathrm{.}}\end{array}$$倍角公式を使えば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_p^r-\cos {\displaystyle \frac{2x}{a}}dx+{\int }_r^q\cos {\displaystyle \frac{2x}{a+1}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a+1}{2}}(1-\sin {\displaystyle \frac{\pi a}{2a+1}})\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$S={\displaystyle \frac{2a+1}{2}}(1-\sin {\displaystyle \frac{\pi a}{2a+1}})\mathrm{.}$$$0<a<1\mathrm{/}2$ では $C_1,C_2$ に後続の交点も現れるが、ここでは $p$ から最初の切替点 $r$ を経て $q$ に至る4本の弧が作る、原問題の標準的な閉領域を求めている。