九州大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
直線と放物線の交点は $ax=x^2-bx$ で決まる。整理すると $x(x-a-b)=0$ であるから、原点と異なる交点 $P$ の $x$ 座標は $x=a+b$ である。したがって、$P$ を通り $y$ 軸に平行な直線は $x=a+b$ である。

放物線 $y=x^2-bx=x(x-b)$ は、$0<x<b$ で $x$ 軸の下側にある。よって$$S={\int }_0^b\{0-(x^2-bx)\}dx={\int }_0^b(bx-x^2)dx={[{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^b={\displaystyle \frac{b^3}{6}}$$である。

一方、$b<x<a+b$ では放物線は $x$ 軸の上側にあるので $$T={\int }_b^{a+b}(x^2-bx)dx$$ である。計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{b{x}^2}{2}}]}_b^{a+b}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(a+b{)}^3-b^3}{3}}-{\displaystyle \frac{b\{(a+b{)}^2-b^2\}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a^2(2a+3b)}{6}}}\end{array}$$である。

(2)
条件 $T\mathrm{/}S=5$ より $${\displaystyle \frac{a^2(2a+3b)}{b^3}}=5$$ である。ここで $a,b>0$ なので $u=b\mathrm{/}a$ とおくと、$u>0$ であり $${\displaystyle \frac{2+3u}{u^3}}=5$$ となる。すなわち $5u^3-3u-2=0$ である。左辺は $$5u^3-3u-2=(u-1)(5u^2+5u+2)$$ と因数分解できる。$u>0$ では $5u^2+5u+2>0$ だから、解は $u=1$ だけである。したがって $b=a$ である。

$S$ では $x=bu$、$T$ では $x=b+au$ とおき、どちらも
$0\leqq u\leqq 1$ の積分へ標準化する。比は $u=b\mathrm{/}a$ で無次元化する。

(1)
$S$ で $x=bu$ とおくと$$S=b^3{\int }_0^{1}u(1-u)du={\displaystyle \frac{b^3}{6}}\mathrm{.}$$$T$ では $x=b+au$ とおくと$$T=a^2{\int }_0^{1}u(b+au)du={\displaystyle \frac{a^2(3b+2a)}{6}}\mathrm{.}$$(2)
$r=b\mathrm{/}a>0$ とおけば$${\displaystyle \frac{T}{S}}={\displaystyle \frac{2+3r}{r^3}}=5.$$したがって$$5r^3-3r-2=(r-1)(5r^2+5r+2)=0.$$第2因子は正なので $r=1$、ゆえに$$b=a\mathrm{.}$$