九州大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
二つの曲線の交点は $$nx={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$ より $x(x-2n)=0$ であるから $x=0,x=2n$ である。$0\leqq x\leqq 2n$ では $y=nx$ が上側，$y=x^2\mathrm{/}2$ が下側である。したがって$$S_n={\int }_0^{2n}(nx-{\displaystyle \frac{x^2}{2}})dx$$である。計算すると$$S_n={[{\displaystyle \frac{n{x}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}]}_0^{2n}=2n^3-{\displaystyle \frac{8n^3}{6}}={\displaystyle \frac{2n^3}{3}}$$である。よって $$S_n={\displaystyle \frac{2}{3}}{n}^3$$ である。

(2) $n=1$ のとき，$0\leqq x\leqq 2$ である。整数 $x$ ごとに数えると，$x=0\text{ で }y=0,$ $$x=1\text{ で }{\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq y\leqq 1\text{ より }y=1,$$ $x=2\text{ で }y=2$ であるから $N_1=3$ である。 $n=2$ のとき，$0\leqq x\leqq 4$ であり，整数 $x$ ごとの個数は $1,2,3,2,1$ である。したがって $N_2=1+2+3+2+1=9$ である。よって $N_1=3,N_2=9$ である。

(3)
整数 $x$ を一つ固定する。格子点の $y$ 座標は $${\displaystyle \frac{x^2}{2}}\leqq y\leqq nx$$ を満たす整数である。

まず $x=2k$ とおく。このとき $k=0,1,\dots ,n$ であり，下端は $${\displaystyle \frac{x^2}{2}}={\displaystyle \frac{4k^2}{2}}=2k^2$$ で，上端は $nx=2nk$ である。したがってこの $x$ に対する格子点の個数は $2nk-2k^2+1$ である。

次に $x=2k+1$ とおく。このとき $k=0,1,\dots ,n-1$ である。下端は $${\displaystyle \frac{x^2}{2}}={\displaystyle \frac{4k^2+4k+1}{2}}=2k^2+2k+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ なので，整数 $y$ の最小値は $2k^2+2k+1$ である。上端は $n(2k+1)$ であるから，この $x$ に対する格子点の個数は $$n(2k+1)-(2k^2+2k+1)+1=2nk+n-2k^2-2k$$ である。

よって$$N_n=\sum _{k=0}^n(2nk-2k^2+1)+\sum _{k=0}^{n-1}(2nk+n-2k^2-2k)$$である。和の公式を用いると$$\sum _{k=0}^n(2nk-2k^2+1)={\displaystyle \frac{n(n+1)(n-1)}{3}}+n+1$$であり、$$\sum _{k=0}^{n-1}(2nk+n-2k^2-2k)={\displaystyle \frac{n(2n^2+1)}{3}}$$である。したがって $$N_n={\displaystyle \frac{2n^3+4n+3}{3}}$$ を得る。よって $$N_n={\displaystyle \frac{2n^3+4n+3}{3}}$$ である。

整数 $x$ ごとに、上端 $nx$ から下端 $x^2\mathrm{/}2$ までにある整数 $y$ の個数を、天井関数を用いて一つの和にする。その後に $x$ の偶奇を使って天井値の総和だけを評価する。個々の柱を別々に整理する解法1と異なり、一次和・二次和として一括計算する。

(1)
交点は $x=0,2n$ であり、この間では直線が上側である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle ={\int }_0^{2n}(nx-{\displaystyle \frac{x^2}{2}})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{n{x}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}]}_0^{2n}={\displaystyle \frac{2n^3}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
整数 $x$ ごとに数えると、$n=1$ では個数が $1,1,1$、$n=2$ では $1,2,3,2,1$ である。よって$$N_1=3,N_2=9.$$(3)
$x=j$ 上にある格子点の個数は$$nj-\lceil {\displaystyle \frac{j^2}{2}}\rceil +1$$である。ゆえに$$N_n=n\sum _{j=0}^{2n}j-\sum _{j=0}^{2n}\lceil {\displaystyle \frac{j^2}{2}}\rceil +(2n+1)\mathrm{.}$$偶数 $j=2k$ と奇数 $j=2k+1$ に対して$$\lceil {\displaystyle \frac{(2k{)}^2}{2}}\rceil =2k^2,\lceil {\displaystyle \frac{(2k+1{)}^2}{2}}\rceil =2k^2+2k+1$$である。したがって$$\sum _{j=0}^{2n}\lceil {\displaystyle \frac{j^2}{2}}\rceil =\sum _{k=0}^{n}2k^2+\sum _{k=0}^{n-1}(2k^2+2k+1)\mathrm{.}$$一次和・二次和の公式を代入して整理すると$$N_n={\displaystyle \frac{2n^3+4n+3}{3}}\mathrm{.}$$これは $n=1,2$ の値とも一致する。