九州大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
まず $$P_0(x)=1,P_1(x)=x,P_2(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(3x^2-1)$$ である。

同じ番号どうしの積分を計算する。 $${\int }_{-1}^1{P}_0(x{)}^{2}dx={\int }_{-1}^{1}1dx=2$$ であり、$${\int }_{-1}^1{P}_1(x{)}^{2}dx={\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=2{\int }_0^1{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{2}{3}}$$である。また $$P_2(x{)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}(9x^4-6x^2+1)$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1{P}_2(x{)}^{2}dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}(9\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}-6\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4}}({\displaystyle \frac{18}{5}}-4+2)={\displaystyle \frac{2}{5}}\mathrm{.}}\end{array}$$次に異なる番号どうしを見る。 $${\int }_{-1}^1{P}_0(x)P_1(x)dx={\int }_{-1}^{1}xdx=0$$ である。また $${\int }_{-1}^1{P}_1(x)P_2(x)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-1}^1(3x^3-x)dx=0$$ である。さらに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1{P}_0(x)P_2(x)dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-1}^1(3x^2-1)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}(3\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}-2)=0.}\end{array}$$したがって$${\int }_{-1}^1{P}_m(x)P_n(x)dx=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2}{2n+1}},& m=n,\\ 0,& m\mathrm{\ne }n\end{array}(0\leqq m\leqq n\leqq 2)$$である。

(2) $$f(x)=a_0{P}_0(x)+a_1{P}_1(x)+a_2{P}_2(x)$$ の両辺に $P_k(x)$ を掛けて $-1$ から $1$ まで積分する。すると$${\int }_{-1}^{1}f(x)P_k(x)dx=\sum _{j=0}^2{a}_j{\int }_{-1}^1{P}_j(x)P_k(x)dx$$である。

(1) より、$j\mathrm{\ne }k$ の項は0であり、$j=k$ の項だけが残る。よって$${\int }_{-1}^{1}f(x)P_k(x)dx=a_k{\int }_{-1}^1{P}_k(x{)}^{2}dx=a_k{\displaystyle \frac{2}{2k+1}}$$である。したがって $$a_k={\displaystyle \frac{2k+1}{2}}{\int }_{-1}^{1}f(x)P_k(x)dx(k=0,1,2)$$ が成り立つ。

$f(x)$ を通常の2次式へ展開し、3つの積分を直接計算する。異なる $P_m,P_n$ の積を表にして使う方法とは別に、各係数が取り出されることを個別に確認する。

(1)

奇関数の積分と偶関数の積分を分けて計算すると$${\int }_{-1}^1{P}_m(x)P_n(x)dx=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2}{2n+1}}& (m=n),\\ 0& (m\mathrm{\ne }n)\end{array}(0\leqq m\leqq n\leqq 2)\mathrm{.}$$(2)$$f(x)=(a_0-{\displaystyle \frac{a_2}{2}})+a_{1}x+{\displaystyle \frac{3a_2}{2}}{x}^2$$である。まず$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f(x)dx}& {\displaystyle =2(a_0-{\displaystyle \frac{a_2}{2}})+{\displaystyle \frac{3a_2}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2a_0\mathrm{.}}\end{array}$$次に、奇関数の項が消えることから$${\int }_{-1}^{1}xf(x)dx=a_1{\int }_{-1}^1{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{2a_1}{3}}\mathrm{.}$$最後に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^{1}f(x)P_2(x)dx}& {\displaystyle =a_2{\int }_{-1}^1{P}_2(x{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a_2}{5}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって順に$$a_0={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{-1}^{1}f(x)P_0(x)dx,$$$$a_1={\displaystyle \frac{3}{2}}{\int }_{-1}^{1}f(x)P_1(x)dx,$$$$a_2={\displaystyle \frac{5}{2}}{\int }_{-1}^{1}f(x)P_2(x)dx\mathrm{.}$$これは求める式である。