九州大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
定義式に $x=0$ を代入すると，積分区間の長さが0なので $f(0)=0$ である。

次に $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ を求める。上端から出る項は $g(x)\sin 0=0$ であり，$\sin (x-t)$ を $x$ で微分すると $\cos (x-t)$ になる。したがって $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_0^{x}g(t)\cos (x-t)dt$$ である。よって $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ である。

(2)
さらに微分する。上端から出る項は $g(x)\cos 0=g(x)$ であり，$\cos (x-t)$ を $x$ で微分すると $-\sin (x-t)$ になる。したがって $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=g(x)-{\int }_0^{x}g(t)\sin (x-t)dt$$ である。定義式より右辺の積分は $f(x)$ だから $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=g(x)-f(x)$ である。すなわち求める関係式は $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)+f(x)=g(x)$ である。

(3)
条件 $g(x)=\sin x+f(x)$ と(2)の関係式を合わせると $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)+f(x)=\sin x+f(x)$ である。よって $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\sin x$ を得る。

(1) より $f(0)=0$，$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ である。まず $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\sin x$ を積分すると $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\cos x+C_1$ である。$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ より $-1+C_1=0$ だから $C_1=1$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-\cos x$ である。さらに積分して $f(x)=x-\sin x+C_2$ となる。$f(0)=0$ より $C_2=0$ であるから $f(x)=x-\sin x$ である。

最後に $g(x)=\sin x+f(x)$ へ代入して $g(x)=x$ を得る。実際，この $f,g$ は $f(0)=f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ と $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}+f=g$ を満たすので，求める関数は $$f(x)=x-\sin x,g(x)=x$$ である。

(1) (2)では積分上端から現れる項を明記して微分する。(3)では $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\sin x$ を不定積分で2回解く代わりに，初期値がともに0であることを使った二重積分表示へ直し，部分積分1回で $f$ を直接求める。

(1)
積分区間が1点に縮むので$$f(0)=0.$$また上端からの項は $g(x)\sin 0=0$ だから$$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\int }_0^{x}g(t)\cos (x-t)dt\mathrm{.}$$したがって$$f^{\mathrm{\prime }}(0)=0.$$(2)
もう一度微分すると，上端から $g(x)\cos 0=g(x)$ が現れ，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =g(x)-{\int }_0^{x}g(t)\sin (x-t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =g(x)-f(x)\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)+f(x)=g(x)$$である。

(3)
$g(x)=\sin x+f(x)$ を(2)へ代入すると$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=\sin x\mathrm{.}$$さらに(1)より $f(0)=f^{\mathrm{\prime }}(0)=0$ である。この初期値を保ったまま2回積分すると$$f(x)={\int }_0^x(x-t)\sin tdt\mathrm{.}$$右辺を計算して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle =x{\int }_0^x\sin tdt-{\int }_0^{x}t\sin tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x(1-\cos x)-(-x\cos x+\sin x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =x-\sin x\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$g(x)=\sin x+f(x)=x\mathrm{.}$$よって$$f(x)=x-\sin x,g(x)=x$$である。