九州大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $f$ は $(1,0)$ を $(2,1)$ に、$(0,1)$ を $(1,2)$ に移す。したがって $f$ を表す行列は、これらを第1列、第2列にもつ$$F=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$である。

また、原点のまわりの ${45}^{\circ }$ 回転を表す行列は$$G={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$$である。

(2)
合成変換 $g\circ f$ では、まず $f$、次に $g$ を行うので、行列は $GF$ である。よって$$GF={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 3\end{array}\right)$$である。

この行列の逆行列を求める。まず$${\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 3\end{array}\right)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -3& 1\end{array}\right)$$であるから、$GF$ の逆行列は$$(GF{)}^{-1}=\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& {\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& {\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}}}\end{array}\right)$$である。

(3)
移った後の点を $(X,Y)$ とする。逆変換を用いると、元の点 $(x,y)$ は$$x={\displaystyle \frac{X}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{Y}{3\sqrt{2}}},y=-{\displaystyle \frac{X}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{Y}{3\sqrt{2}}}$$である。元の点は単位円上にあるので$${({\displaystyle \frac{X}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{Y}{3\sqrt{2}}})}^2+{(-{\displaystyle \frac{X}{\sqrt{2}}}+{\displaystyle \frac{Y}{3\sqrt{2}}})}^2=1$$である。展開すると交差項が消え、$$X^2+{\displaystyle \frac{Y^2}{9}}=1$$ となる。したがって、通常の座標を $(x,y)$ と書けば、求める曲線は $$x^2+{\displaystyle \frac{y^2}{9}}=1$$ である。

$f$ が対角線方向 $(1,1)$、$(1,-1)$ を何倍するか調べ、45度回転後の
主軸方向を読む。逆行列は $F^{-1}{G}^{-1}$ の順で求める。

(1)
標準基底の像から$$F=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right),G={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)$$GF={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 3\end{array}\right)\mathrm{.}$$また$$F^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right),G^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$$なので$$(GF{)}^{-1}=F^{-1}{G}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& {\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& {\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3)
単位ベクトル$${\mathit{e}}_{+}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(1,1),{\mathit{e}}_{-}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}(1,-1)$$に沿って $f$ はそれぞれ3倍、1倍する。さらに $g$ は
${\mathit{e}}_{+}$ を $y$ 軸方向、${\mathit{e}}_{-}$ を $x$ 軸方向へ
回す。元の点を $u{\mathit{e}}_{+}+v{\mathit{e}}_{-}$ と書けば
$u^2+v^2=1$、像は $(X,Y)=(v,3u)$ である。よって$$X^2+{\displaystyle \frac{Y^2}{9}}=1.$$