九州大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1) $P$ の第1列，第2列をそれぞれ$$u_1=\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right),u_2=\left(\begin{array}{c}-\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right)$$とおく。まず$$A{u}_1=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}+3\\ \sqrt{3}+1\end{array}\right)=(1+\sqrt{3})\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right)$$である。同様に$$A{u}_2=\left(\begin{array}{c}-\sqrt{3}+3\\ -\sqrt{3}+1\end{array}\right)=(1-\sqrt{3})\left(\begin{array}{c}-\sqrt{3}\\ 1\end{array}\right)$$である。したがって$$AP=P\left(\begin{array}{cc}1+\sqrt{3}& 0\\ 0& 1-\sqrt{3}\end{array}\right)$$となる。両辺の左から $P^{-1}$ を掛けて$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}1+\sqrt{3}& 0\\ 0& 1-\sqrt{3}\end{array}\right)$$を得る。

(2)
(1) より$$A=PD{P}^{-1},D=\left(\begin{array}{cc}1+\sqrt{3}& 0\\ 0& 1-\sqrt{3}\end{array}\right)$$である。したがって正整数 $m$ に対して $A^m=P{D}^m{P}^{-1}$ である。ここで $$\alpha =(1+\sqrt{3}{)}^m,\beta =(1-\sqrt{3}{)}^m$$ とおくと$$D^m=\left(\begin{array}{cc}\alpha & 0\\ 0& \beta \end{array}\right)$$である。

また$$P=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& -\sqrt{3}\\ 1& 1\end{array}\right),P^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}\\ -1& \sqrt{3}\end{array}\right)$$であるから，掛け算を行うと$$A^m=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}(\alpha -\beta )}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\alpha -\beta }{2\sqrt{3}}}& {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}\end{array}\right)$$となる。

(3)
与えられた漸化式は$$\left(\begin{array}{c}{x}_{n+1}\\ y_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)$$である。$y_n>0$ は $x_1=y_1=1$ と漸化式から帰納的に分かるので，$r_n=x_n\mathrm{/}{y}_n$ を用いると $$r_{n+1}={\displaystyle \frac{x_n+3y_n}{x_n+y_n}}={\displaystyle \frac{r_n+3}{r_n+1}}$$ である。さらに2回合成すると$$r_{n+2}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{r_n+3}{r_n+1}}+3}{{\displaystyle \frac{r_n+3}{r_n+1}}+1}}={\displaystyle \frac{2r_n+3}{r_n+2}}$$を得る。

まず $$r_2={\displaystyle \frac{1+3}{1+1}}=2>\sqrt{3}$$ である。いま $$r>\sqrt{3}$$ とする。このとき$${\displaystyle \frac{2r+3}{r+2}}-\sqrt{3}={\displaystyle \frac{(2-\sqrt{3})r+3-2\sqrt{3}}{r+2}}={\displaystyle \frac{(2-\sqrt{3})(r-\sqrt{3})}{r+2}}>0$$である。また $$r-{\displaystyle \frac{2r+3}{r+2}}={\displaystyle \frac{r^2-3}{r+2}}>0$$ である。したがって $$\sqrt{3}<{\displaystyle \frac{2r+3}{r+2}}<r$$ が成り立つ。

これを $r=r_{2n}$ に適用すれば，$$r_{2n}>\sqrt{3}$$ ならば $$\sqrt{3}<r_{2n+2}<r_{2n}$$ である。$$r_2>\sqrt{3}$$ から帰納法により，すべての正整数 $n$ について $$r_{2n}>r_{2(n+1)}>\sqrt{3}$$ が成り立つ。

(1) (2) は $P^{-1}$ を直接求めて行列積を計算する。(3) では (2) の累乗公式を初期ベクトルに作用させ、$x_n,y_n$ の一般項を求める。偶数番の比を $0<q_n<1$ を用いて表し、$q_{n+1}<q_n$ と関数 $(1+q)\mathrm{/}(1-q)$ の単調性から結論を得る。

(1) $$P^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}\left(\begin{array}{cc}1& \sqrt{3}\\ -1& \sqrt{3}\end{array}\right)$$である。これを直接掛けると$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}1+\sqrt{3}& 0\\ 0& 1-\sqrt{3}\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)$$\lambda =1+\sqrt{3},\mu =1-\sqrt{3}$$とおく。(1) から$$A^m=P\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^m& 0\\ 0& {\mu }^m\end{array}\right)P^{-1}$$であるから、$$A^m=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{{\lambda }^m+{\mu }^m}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}({\lambda }^m-{\mu }^m)}{2}}\\ {\displaystyle \frac{{\lambda }^m-{\mu }^m}{2\sqrt{3}}}& {\displaystyle \frac{{\lambda }^m+{\mu }^m}{2}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3)$$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=A^{n-1}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$に (2) を用いると$$x_n={\displaystyle \frac{{\lambda }^n+{\mu }^n}{2}},y_n={\displaystyle \frac{{\lambda }^n-{\mu }^n}{2\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$したがって$$r_{2n}=\sqrt{3}{\displaystyle \frac{1+q_n}{1-q_n}},q_n={\left({\displaystyle \frac{\mu }{\lambda }}\right)}^{2n}\mathrm{.}$$$$0<{\left({\displaystyle \frac{\mu }{\lambda }}\right)}^2<1$$なので $0<q_{n+1}<q_n<1$ である。また$$0<u<v<1$$ならば$${\displaystyle \frac{1+v}{1-v}}-{\displaystyle \frac{1+u}{1-u}}={\displaystyle \frac{2(v-u)}{(1-v)(1-u)}}>0.$$よって$$r_{2n}>r_{2(n+1)}>\sqrt{3}$$がすべての正整数 $n$ について成り立つ。