九州大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
行列を$$T=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& -a\end{array}\right)$$とおく。直線 $l:y=3x$ の方向ベクトルは $(1,3)$ である。このベクトルは$$T\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a+3b\\ c-3a\end{array}\right)$$に移る。これが再び直線 $y=3x$ の方向であるため，$c-3a=3(a+3b)$ すなわち $c=6a+9b$ である。

次に，直線 $m:y=2x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$ 上の点を $(x,2x+{\displaystyle \frac{1}{2}})$ とおく。この点は $$x^{\mathrm{\prime }}=(a+2b)x+{\displaystyle \frac{b}{2}},y^{\mathrm{\prime }}=(c-2a)x-{\displaystyle \frac{a}{2}}$$ に移る。これがすべて直線 $n:y=5x+2$ 上にあるので，$y^{\mathrm{\prime }}=5x^{\mathrm{\prime }}+2$ が $x$ の恒等式として成り立つ。係数を比較して $$c-2a=5(a+2b),-{\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{5b}{2}}+2$$ を得る。これと $c=6a+9b$ を合わせると，$a+b=0,-a=5b+4$ である。したがって $$a=1,b=-1,c=-3$$ を得る。

(2)
(1)より変換は $X=x-y,Y=-3x-y$ で表される。行列式は $1\cdot (-1)-(-1)(-3)=-4$ で0でないから，逆に $x,y$ を $X,Y$ で表せる。連立方程式を解くと $$x={\displaystyle \frac{X-Y}{4}},y=-{\displaystyle \frac{3X+Y}{4}}$$ である。

もとの不等式は $y\geqq -x$ すなわち $x+y\geqq 0$ である。上の式を代入すると $$x+y={\displaystyle \frac{X-Y}{4}}-{\displaystyle \frac{3X+Y}{4}}=-{\displaystyle \frac{X+Y}{2}}$$ となる。したがって，移った後の領域は $-{\displaystyle \frac{X+Y}{2}}\geqq 0$ すなわち $X+Y\leqq 0$ である。通常の座標名 $x,y$ で書けば，求める領域は $y\leqq -x$ である。

直線の像に関する条件を，直線上の一般点を行列で移した後の恒等式として一度に処理する。(2)では境界直線の像と，もとの半平面内の代表点の像を調べる。行列式が0でないため，境界のどちら側が像になるかを代表点1個で決定できる。

(1) $$T(x,y)=(ax+by,cx-ay)$$と書く。直線 $l$ 上の一般点 $(s,3s)$ の像は$$((a+3b)s,(c-3a)s)$$である。これが $y=3x$ 上にあるため$$c-3a=3(a+3b)$$すなわち$$\begin{array}{cccc}& c=6a+9b& & \text{(1)}\end{array}$$を得る。

直線 $m$ 上の一般点 $(s,2s+{\displaystyle \frac{1}{2}})$ の像を $(X,Y)$ とすると$$X=(a+2b)s+{\displaystyle \frac{b}{2}},Y=(c-2a)s-{\displaystyle \frac{a}{2}}\mathrm{.}$$これが恒等的に $Y=5X+2$ を満たすので$$\begin{array}{cccc}& c-2a=5(a+2b),-{\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{5b}{2}}+2.& & \text{(2)}\end{array}$$(1)(2)から$$a=1,b=-1,c=-3$$となる。

(2)
境界直線 $y=-x$ の方向ベクトル $(1,-1)$ は$$T(1,-1)=(2,-2)$$へ移るので，境界の像も $Y=-X$ である。また$$\det \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -3& -1\end{array}\right)=-4\mathrm{\ne }0$$だから，半平面はこの境界の片側全体へ移る。

もとの領域 $y\geqq -x$ にある点 $(0,1)$ の像は$$T(0,1)=(-1,-1)$$であり，これは $Y\leqq -X$ を満たす。したがって求める像は$$Y\leqq -X$$である。座標を通常の $x,y$ に戻せば$$y\leqq -x$$となる。