九州大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
不等式 $y\geqq 0,z\geqq 0,y+z\leqq 1$ は，$yz$ 平面上で頂点 $(0,0),(1,0),(0,1)$ をもつ直角三角形を表す。ただし，ここでの座標は $(y,z)$ で見ている。

さらに $0\leqq x\leqq 1$ であるから，この直角三角形を $x$ 軸方向に長さ $1$ だけ伸ばした三角柱が $K$ である。したがって概形は，$x$ 方向の長さが $1$，$yz$ 平面に平行な断面が直角三角形である三角柱である。

(2)
高さ $z$ を固定する。$0\leqq z\leqq 1$ のとき，断面は $$0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq 1-z$$ で表される長方形である。この長方形を $z$ 軸のまわりに回転させると，$xy$ 平面内で原点からの距離が最大になる点は $(x,y)=(1,1-z)$ である。したがって回転後の水平断面は，半径 $$R(z)=\sqrt{1+(1-z{)}^2}$$ の円板である。

よって求める体積を $V$ とすると$$V=\pi {\int }_0^{1}R(z{)}^{2}dz=\pi {\int }_0^1\{1+(1-z{)}^2\}dz$$である。ここで$${\int }_0^1\{1+(1-z{)}^2\}dz={\int }_0^1(2-2z+z^2)dz=2-1+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$$だから $$V={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$$ である。

回転後の立体を、$z$ 軸からの距離 $r$ が一定の薄い円筒殻で切る。$0\leqq r\leqq 1$ では元の長方形内の $(r,0)$ を使えるため高さは1である。$1\leqq r\leqq \sqrt{2}$ では $x=1$ として $y=\sqrt{r^2-1}$ を選ぶのが最も高く、高さは $1-\sqrt{r^2-1}$ となる。

(1)
$K$ は、$yz$ 平面内の直角三角形$$y\geqq 0,z\geqq 0,y+z\leqq 1$$を $x$ 方向へ $0$ から $1$ まで動かしてできる三角柱である。

(2)
回転後の点の $z$ 軸からの距離を $r$ とする。$0\leqq r\leqq 1$ なら元の断面内で $(x,y)=(r,0)$ を選べるため、$$0\leqq z\leqq 1$$のすべてが回転後の立体に含まれる。

$1\leqq r\leqq \sqrt{2}$ では、条件$$x^2+y^2=r^2,0\leqq x\leqq 1,y\geqq 0$$のもとで $y$ を最小にすると $x=1$ である。したがって$$y_{\min }=\sqrt{r^2-1},0\leqq z\leqq 1-\sqrt{r^2-1}\mathrm{.}$$円筒殻の体積を足すと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{1}rdr+2\pi {\int }_1^{\sqrt{2}}r(1-\sqrt{r^2-1})dr}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi +\pi -{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって体積は$$V={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$$である。