九州大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $f(x)=x^3-2x+4$ であるから $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2$ である。点 $(a,f(a))$ における接線の方程式は $y=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$ である。この接線が点 $P(b,0)$ を通るので $0=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(b-a)$ である。

ここに $$f(a)=a^3-2a+4,f^{\mathrm{\prime }}(a)=3a^2-2$$ を代入すると $$0=a^3-2a+4+(3a^2-2)(b-a)$$ である。展開して $$0=a^3-2a+4+3a^{2}b-2b-3a^3+2a$$ より $-2a^3+3a^{2}b-2b+4=0$ を得る。

(2)
(1) の式を，接点の $x$ 座標 $a$ についての方程式 $-2a^3+3b{a}^2-2b+4=0$ と見る。この方程式の相異なる実数解の個数が，点 $P(b,0)$ から引ける接線の本数である。

三次方程式がちょうど二つの相異なる実数解をもつためには，重解をもつ必要がある。その判別式を計算すると $216(b-2)(b+2)(b^2-2b+2)$ である。ここで $b^2-2b+2=(b-1{)}^2+1>0$ なので，実数 $b$ について判別式が $0$ になるのは $b=2,b=-2$ だけである。

実際に確認する。$b=2$ のとき，方程式は $$-2a^3+6a^2=-2a^2(a-3)=0$$ となり，接点の $x$ 座標は $a=0,a=3$ の二つである。したがって接線は2本である。

また $b=-2$ のとき，方程式は $$-2a^3-6a^2+8=-2(a-1)(a+2{)}^2=0$$ となり，接点の $x$ 座標は $a=1,a=-2$ の二つである。したがってこの場合も接線は2本である。

よって求める値は $b=-2,2$ である。

接点の横座標 $a$ が満たす三次式を作る。接線がちょうど2本になるとき、その三次式は重解をもつ。判別式を展開せず、三次式とその導関数が共通解をもつ条件を調べると、$a=0$ または $a=b$ に分かれ、$b$ を簡潔に決定できる。

(1)
接点を $(a,f(a))$ とすると接線は$$y=f(a)+f^{\mathrm{\prime }}(a)(x-a)$$である。これが $(b,0)$ を通るから$$0=a^3-2a+4+(3a^2-2)(b-a)\mathrm{.}$$整理して$$-2a^3+3b{a}^2-2b+4=0$$を得る。

(2) $$F_b(a)=-2a^3+3b{a}^2-2b+4$$とおく。相異なる接線がちょうど2本なら、三次方程式 $F_b(a)=0$ は重解と単解をもつ。重解 $a$ は$$F_b(a)=0,F_b^{\mathrm{\prime }}(a)=0$$を満たす。ところが$$F_b^{\mathrm{\prime }}(a)=6a(b-a)$$なので、$a=0$ または $a=b$ である。

$a=0$ のとき$$F_b(0)=-2b+4=0$$より $b=2$ である。

$a=b$ のとき$$F_b(b)=b^3-2b+4=(b+2)(b^2-2b+2)=0.$$第2因子は$$b^2-2b+2=(b-1{)}^2+1>0$$であるから $b=-2$ である。

実際、$$F_2(a)=-2a^2(a-3),F_{-2}(a)=-2(a-1)(a+2{)}^2$$となり、どちらも相異なる接点を2個もつ。したがって$$b=-2,2$$である。