九州大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $\varphi (x)=x^2{e}^x$ とおく。$x>0$ で $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=2x{e}^x+x^2{e}^x=e^x(x^2+2x)>0$$ である。したがって $\varphi (x)$ は $x>0$ で単調に増加する。また $$\underset{x\to +0}{\lim }\varphi (x)=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (x)=+\mathrm{\infty }$$ である。よって、正数 $a$ に対して $$x^2{e}^x={\displaystyle \frac{1}{a}}$$ を満たす $x>0$ はただ1つ存在する。この値を $p(a)$ とする。

次に $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=a{e}^x-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$$ である。$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は $$a{e}^x={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$$ すなわち $$x^2{e}^x={\displaystyle \frac{1}{a}}$$ と同値であるから、$x=p(a)$ である。

さらに、$x<p(a)$ では $$x^2{e}^x<{\displaystyle \frac{1}{a}}$$ なので $$a{e}^x<{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$$、すなわち $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。$x>p(a)$ では同様に $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ である。したがって $f(x)$ は $x=p(a)\text{ で最小値をとる}$ である。

(2) $p(a)$ の定義より $ap(a{)}^2{e}^{p(a)}=1$ である。両辺の対数をとると $$\log a+2\log p(a)+p(a)=0$$ である。これを $a$ で微分すると $${\displaystyle \frac{1}{a}}+({\displaystyle \frac{2}{p(a)}}+1)p^{\mathrm{\prime }}(a)=0$$ である。ここで $a>0$、$p(a)>0$ だから $p^{\mathrm{\prime }}(a)<0$ である。

また $$g(a)=f(p(a))=a{e}^{p(a)}+{\displaystyle \frac{1}{p(a)}}$$ である。これを微分すると $$g^{\mathrm{\prime }}(a)=e^{p(a)}+(a{e}^{p(a)}-{\displaystyle \frac{1}{p(a{)}^2}})p^{\mathrm{\prime }}(a)$$ である。ところが $p(a)$ は $f^{\mathrm{\prime }}(p(a))=0$ を満たすので $$a{e}^{p(a)}-{\displaystyle \frac{1}{p(a{)}^2}}=0$$ である。したがって $g^{\mathrm{\prime }}(a)=e^{p(a)}>0$ である。

(3) $a\to +0$ のとき $${\displaystyle \frac{1}{a}}\to +\mathrm{\infty }$$ である。$y=x^2{e}^x$ のグラフは $x>0$ で単調に増加し、右へ進むほど限りなく大きくなる。したがって水平線 $$y={\displaystyle \frac{1}{a}}$$ との交点の横座標である $p(a)$ は $p(a)\to +\mathrm{\infty }$ となる。

定義式 $ap(a{)}^2{e}^{p(a)}=1$ から $$\log {\displaystyle \frac{1}{a}}=p(a)+2\log p(a)$$ である。$a\to +0$ では $p(a)\to +\mathrm{\infty }$ だから、与えられた極限 $$\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\log t}{t}}=0$$ を用いて $${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\log a\mathrm{\mid }}{p(a)}}=1+2{\displaystyle \frac{\log p(a)}{p(a)}}\to 1$$ である。よって $$\underset{a\to +0}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\log a\mathrm{\mid }}{p(a)}}=1$$ である。

さらに $$a{e}^{p(a)}={\displaystyle \frac{1}{p(a{)}^2}}$$ なので $$g(a)=a{e}^{p(a)}+{\displaystyle \frac{1}{p(a)}}={\displaystyle \frac{1}{p(a{)}^2}}+{\displaystyle \frac{1}{p(a)}}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(a)\mathrm{\mid }\log a\mathrm{\mid }}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{1}{p(a)}}+{\displaystyle \frac{1}{p(a{)}^2}})\{p(a)+2\log p(a)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{1}{p(a)}}+2{\displaystyle \frac{\log p(a)}{p(a)}}+2{\displaystyle \frac{\log p(a)}{p(a{)}^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$各余分な項は0に近づくので $$\underset{a\to +0}{\lim }g(a)\mathrm{\mid }\log a\mathrm{\mid }=1$$ である。

$p=p(a)$ を新しい変数とし、$a=e^{-p}\mathrm{/}{p}^2$、$g=(p+1)\mathrm{/}{p}^2$ と表す。$p$ を介した微分と極限で全小問を処理する。

(1) $$\varphi (x)=x^2{e}^x$$は $x>0$ で$${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(x)=x{e}^x(x+2)>0$$であり、0から $+\mathrm{\infty }$ まで増加する。したがって$$\varphi (x)={\displaystyle \frac{1}{a}}$$の正の解 $p(a)$ はただ1つである。$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=a{e}^x-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$$の符号は $p(a)$ の前で負、後で正だから、$f$ は $p(a)$ で最小になる。

(2)

$p=p(a)$ と書けば$$a={\displaystyle \frac{e^{-p}}{p^2}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{da}{dp}}=-a(1+{\displaystyle \frac{2}{p}})<0,p^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{1}{da\mathrm{/}dp}}<0.$$また$$g=a{e}^p+{\displaystyle \frac{1}{p}}={\displaystyle \frac{1}{p^2}}+{\displaystyle \frac{1}{p}}={\displaystyle \frac{p+1}{p^2}}\mathrm{.}$$$${\displaystyle \frac{dg}{dp}}=-{\displaystyle \frac{p+2}{p^3}}<0$$であり $da\mathrm{/}dp<0$ だから$$g^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{dg\mathrm{/}dp}{da\mathrm{/}dp}}>0.$$(3)

$a\to +0$ なら $1\mathrm{/}a\to +\mathrm{\infty }$ である。
$\varphi$ の増加グラフと水平線 $y=1\mathrm{/}a$ の交点を考えれば$$p(a)\to +\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$定義式から$$\mid \log a\mid =p+2\log p\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{\mid \log a\mid }{p}}=1+2{\displaystyle \frac{\log p}{p}}⟶1.$$さらに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g\mid \log a\mid }& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{p^2}})(p+2\log p)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =1+{\displaystyle \frac{1}{p}}+2{\displaystyle \frac{\log p}{p}}+2{\displaystyle \frac{\log p}{p^2}}⟶1.}\end{array}$$よって2つの極限はともに1である。