九州大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
曲線上の点を $(x,y)$ とする。この点における法線は $(0,cy)$ を通るので、$x\mathrm{\ne }0$ のとき法線の傾きは $${\displaystyle \frac{cy-y}{0-x}}={\displaystyle \frac{(1-c)y}{x}}$$ である。

接線の傾きは ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ であり、接線と法線は垂直だから $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}\cdot {\displaystyle \frac{(1-c)y}{x}}=-1$$ である。両辺を整理して $$(c-1)y{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=x$$ を得る。$x=0$ の点でも、得られた式は連続的に同じ関係を表している。

(2)
(1)の微分方程式を積分する。 $$(c-1)y{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=x$$ より $(c-1)ydy=xdx$ と見て積分すると $(c-1)y^2=x^2+C$ と書ける。曲線は $(0,1)$ を通るので $c-1=C$ である。したがって $(c-1)y^2=x^2+c-1$ であり、$$y^2=1+{\displaystyle \frac{x^2}{c-1}}$$ である。 $c>1$ のときは $$y^2-{\displaystyle \frac{x^2}{c-1}}=1$$ となり、上下に開く双曲線である。$c<1$ のときは $$y^2=1-{\displaystyle \frac{x^2}{1-c}}$$ すなわち $${\displaystyle \frac{x^2}{1-c}}+y^2=1$$ となり、$x$ 軸方向の半径が $\sqrt{1-c}$、$y$ 軸方向の半径が1のだ円である。

(3) $c<1$ とし、$$\alpha =\sqrt{1-c}$$ とおく。このとき曲線は $$y^2=1-{\displaystyle \frac{x^2}{{\alpha }^2}}(-\alpha \leqq x\leqq \alpha )$$ である。これを $x$ 軸のまわりに回転してできる体積は$$V=\pi {\int }_{-\alpha }^{\alpha }{y}^{2}dx=\pi {\int }_{-\alpha }^{\alpha }(1-{\displaystyle \frac{x^2}{{\alpha }^2}})dx$$である。計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {[x-{\displaystyle \frac{x^3}{3{\alpha }^2}}]}_{-\alpha }^{\alpha }}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{2\alpha }{1}}-{\displaystyle \frac{2\alpha }{3}})={\displaystyle \frac{4\pi \alpha }{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$これが $\pi$ に等しいので $${\displaystyle \frac{4\alpha }{3}}=1$$ であり、$$\alpha ={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。したがって $$1-c={\alpha }^2={\displaystyle \frac{9}{16}}$$ より $$c={\displaystyle \frac{7}{16}}$$ である。

微分方程式を $y^2$ の導関数として積分する。$c<1$ では得られた楕円の回転体を、単位球を $x$ 方向へ拡大・縮小した立体として扱う。

(1)

曲線上の点を $(x,y)$ とする。法線は $(0,cy)$ を通るので、その傾きは$${\displaystyle \frac{cy-y}{0-x}}={\displaystyle \frac{(1-c)y}{x}}\mathrm{.}$$接線との傾きの積が $-1$ だから$${\displaystyle \frac{dy}{dx}}\cdot {\displaystyle \frac{(1-c)y}{x}}=-1.$$よって$$(c-1)y{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=x\mathrm{.}$$(2)$${\displaystyle \frac{d}{dx}}(y^2)=2y{\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{2x}{c-1}}\mathrm{.}$$積分して$$y^2={\displaystyle \frac{x^2}{c-1}}+C\mathrm{.}$$$(0,1)$ を通るから $C=1$ であり$$y^2=1+{\displaystyle \frac{x^2}{c-1}}\mathrm{.}$$$c>1$ では$$y^2-{\displaystyle \frac{x^2}{c-1}}=1$$という双曲線、$c<1$ では$${\displaystyle \frac{x^2}{1-c}}+y^2=1$$という楕円である。

(3)

$c<1$ とし$$\alpha =\sqrt{1-c}$$とおく。楕円は$${\displaystyle \frac{x^2}{{\alpha }^2}}+y^2=1.$$これを $x$ 軸のまわりに回転した立体は、半径1の球を $x$ 方向だけ
$\alpha$ 倍したものになる。したがって体積は$$V=\alpha \cdot {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}\mathrm{.}$$$V=\pi$ より$$\alpha ={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$ゆえに$$1-c={\displaystyle \frac{9}{16}},c={\displaystyle \frac{7}{16}}\mathrm{.}$$