九州大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $0\leqq t\leqq c$ で $f^{\mathrm{\prime }}(t)=-1,f(0)=2$ であるから，$f(t)=2-t$ である。また $g^{\mathrm{\prime }}(t)=f(t)=2-t$，$g(0)=7$ より $$g(t)=7+{\int }_0^t(2-u)du=7+2t-{\displaystyle \frac{t^2}{2}}$$ である。

点 $(f(t),g(t))$ の座標を $(x,y)$ とおくと $x=2-t$ であり，したがって $t=2-x$ である。これを $y=g(t)$ に代入すると $$y=7+2(2-x)-{\displaystyle \frac{(2-x{)}^2}{2}}=9-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$ となる。また $0\leqq t\leqq c$ から $2-c\leqq x\leqq 2$ である。よって求める軌跡は $$y=9-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}(2-c\leqq x\leqq 2)$$ である。

(2) $c\leqq t$ では $h^{\mathrm{\prime }}(t)=1$，$h(c)=f(c)=2-c$ である。よって $h(t)=t-c+2-c=t+2-2c$ である。

点 $(h(t),k(t))$ の座標を $(x,y)$ とおく。すると $x=h(t)=t+2-2c$ であり，$dx\mathrm{/}dt=1$ である。また $k^{\mathrm{\prime }}(t)=h(t)$ だから $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{dk\mathrm{/}dt}{dx\mathrm{/}dt}}=h(t)=x$$ となる。したがって軌跡は $$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+C$$ の形である。 $t=c$ のとき，$x=h(c)=2-c$ であり，$$y=k(c)=g(c)=7+2c-{\displaystyle \frac{c^2}{2}}$$ である。これを $$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+C$$ に代入して $$C=7+2c-{\displaystyle \frac{c^2}{2}}-{\displaystyle \frac{(2-c{)}^2}{2}}=5+4c-c^2$$ を得る。したがって後半の軌跡は $$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+5+4c-c^2(x\geqq 2-c)$$ である。

この軌跡が原点を通るには，まず $0=5+4c-c^2$ でなければならない。すなわち $c^2-4c-5=0$ であるから $(c-5)(c+1)=0$ となる。$c>0$ より $c=5$ である。このとき範囲は $x\geqq 2-5=-3$ であり，$x=0$ は確かに含まれる。よって求める値は $c=5$ である。

時刻 $t$ を先に求めず，平面上の座標を $x=f(t),y=g(t)$ および $x=h(t),y=k(t)$ とおいて，連鎖律から $dy\mathrm{/}dx$ を求める。前半と後半で保存される量を作り，接続点だけを代入して2本の放物線を決定する。

(1) $$x=f(t),y=g(t)$$とおく。$dx\mathrm{/}dt=f^{\mathrm{\prime }}(t)=-1$，$dy\mathrm{/}dt=g^{\mathrm{\prime }}(t)=f(t)=x$ だから$${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{dy\mathrm{/}dt}{dx\mathrm{/}dt}}=-x\mathrm{.}$$したがって$$y+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}=C$$である。$t=0$ では $(x,y)=(2,7)$ なので $C=9$ であり，$$y=9-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$$を得る。また $f(t)=2-t$ だから，$0\leqq t\leqq c$ に対応する範囲は$$2-c\leqq x\leqq 2$$である。

(2)
今度は$$x=h(t),y=k(t)$$とおく。$dx\mathrm{/}dt=1$，$dy\mathrm{/}dt=h(t)=x$ より$${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=x,y-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}=C\mathrm{.}$$接続点 $t=c$ では$$x=f(c)=2-c,y=g(c)=7+2c-{\displaystyle \frac{c^2}{2}}$$であるから$$C=7+2c-{\displaystyle \frac{c^2}{2}}-{\displaystyle \frac{(2-c{)}^2}{2}}=5+4c-c^2\mathrm{.}$$よって後半の軌跡は$$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}+5+4c-c^2,x\geqq 2-c$$である。

原点を通るためには$$5+4c-c^2=0$$が必要であり，$c>0$ から $c=5$ を得る。このとき範囲は $x\geqq -3$ なので原点を確かに含む。したがって$$c=5$$である。