九州大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
曲線上の点を $P=(x,y)$ とし，この点における法線が $y$ 軸と交わる点を $Q=(0,q)$ とする。点 $P$ は第1象限にあるので $x>0,y>0$ である。線分 $PQ$ が $x$ 軸によって $1:s$ に内分されるから，$P$ から $x$ 軸までの縦の距離と，$x$ 軸から $Q$ までの縦の距離の比は $y:(-q)=1:s$ である。したがって $q=-sy$ である。

法線 $PQ$ の傾きは $${\displaystyle \frac{q-y}{0-x}}={\displaystyle \frac{-sy-y}{-x}}={\displaystyle \frac{(s+1)y}{x}}$$ である。接線の傾きは法線の傾きと積が $-1$ になるので $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{x}{(s+1)y}}$$ である。よって $$(s+1)y{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-x$$ であり，両辺を $x$ で積分すると $${\displaystyle \frac{s+1}{2}}{y}^2=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+C$$ となる。すなわち $x^2+(s+1)y^2=C^{\mathrm{\prime }}$ である。

曲線は点 $(2,1)$ を通るので $4+(s+1)=s+5$ より $C^{\mathrm{\prime }}=s+5$ である。したがって曲線 $C$ の方程式は $x^2+(s+1)y^2=s+5$ である。ただし第1象限内の弧を考える。

(2)
(1) より $$y^2={\displaystyle \frac{s+5-x^2}{s+1}}$$ である。$x$ 軸との交点は $$x=\sqrt{s+5}$$ であり，$y$ 軸との交点は第1象限にある。したがって、囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに回転した体積は$$V=\pi {\int }_0^{\sqrt{s+5}}{y}^{2}dx={\displaystyle \frac{\pi }{s+1}}{\int }_0^{\sqrt{s+5}}(s+5-x^2)dx$$である。計算すると $$V={\displaystyle \frac{\pi }{s+1}}{[(s+5)x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^{\sqrt{s+5}}$$ であり，$$V={\displaystyle \frac{\pi }{s+1}}\{(s+5{)}^{3\mathrm{/}2}-{\displaystyle \frac{(s+5{)}^{3\mathrm{/}2}}{3}}\}$$ となる。よって $$V={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}{\displaystyle \frac{(s+5{)}^{3\mathrm{/}2}}{s+1}}$$ である。

(3) $s>0$ である。定数 $2\pi \mathrm{/}3$ を除き，$$H(s)={\displaystyle \frac{(s+5{)}^{3\mathrm{/}2}}{s+1}}$$ を最小にすればよい。微分すると $$H^{\mathrm{\prime }}(s)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{2}}(s+5{)}^{1\mathrm{/}2}(s+1)-(s+5{)}^{3\mathrm{/}2}}{(s+1{)}^2}}$$ である。分子を整理すると$$(s+5{)}^{1\mathrm{/}2}\{{\displaystyle \frac{3}{2}}(s+1)-(s+5)\}={\displaystyle \frac{1}{2}}(s+5{)}^{1\mathrm{/}2}(s-7)$$である。したがって $$H^{\mathrm{\prime }}(s)<0(0<s<7),H^{\mathrm{\prime }}(s)>0(s>7)$$ であるから，$H(s)$，したがって $V$ は $s=7$ で最小となる。

線分 $PQ$ と $x$ 軸の交点を $R$ とし、内分点の公式から法線の $y$ 切片を求める。微分方程式は微分形式 $xdx+(s+1)ydy=0$ と見て積分する。体積の最小化は正の定数を除いた式の対数微分で符号を一行に整理する。

(1) $$P=(x,y),Q=(0,q)$$とし、$x$ 軸との交点を $R$ とする。$$PR:RQ=1:s$$なので、内分点の公式による $R$ の $y$ 座標は$${\displaystyle \frac{sy+q}{s+1}}=0.$$ゆえに $q=-sy$ である。法線の傾きは$${\displaystyle \frac{q-y}{-x}}={\displaystyle \frac{(s+1)y}{x}}$$だから、接線の傾きは$${\displaystyle \frac{dy}{dx}}=-{\displaystyle \frac{x}{(s+1)y}}\mathrm{.}$$すなわち$$xdx+(s+1)ydy=0.$$積分し、$(2,1)$ を代入すると$$x^2+(s+1)y^2=s+5.$$(2)
第1象限の弧に対して$$y^2={\displaystyle \frac{s+5-x^2}{s+1}},0\leqq x\leqq \sqrt{s+5}\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{\sqrt{s+5}}{\displaystyle \frac{s+5-x^2}{s+1}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}{\displaystyle \frac{(s+5{)}^{3\mathrm{/}2}}{s+1}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
$V$ と同じ増減をもつ$$W(s)={\displaystyle \frac{(s+5{)}^{3\mathrm{/}2}}{s+1}}$$を考える。$W(s)>0$ であり、$${\displaystyle \frac{W^{\mathrm{\prime }}(s)}{W(s)}}={\displaystyle \frac{3}{2(s+5)}}-{\displaystyle \frac{1}{s+1}}={\displaystyle \frac{s-7}{2(s+5)(s+1)}}\mathrm{.}$$$s>0$ で分母は正だから、$W$ は $s=7$ まで減少し、その後増加する。よって$$s=7$$のとき体積は最小である。