九州大学 1992年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)
1回の試行で事象 $A$ が起こる確率は $p$ である。$n$ 回の試行は同じ条件で繰り返されるので、$X$ は成功確率 $p$、試行回数 $n$ の二項分布に従う。したがって期待値は $\mathrm{E}(X)=np$ である。

(2)
2つのサイコロの出方は全部で36通りである。

まず $2\leqq a\leqq 7$ のとき、和が $2,3,\dots ,a$ となる出方の数は $$1+2+\cdots +(a-1)={\displaystyle \frac{a(a-1)}{2}}$$ である。よって $$p={\displaystyle \frac{a(a-1)}{72}}(2\leqq a\leqq 7)$$ である。

次に $7\leqq a\leqq 12$ のときは、和が $a+1$ 以上となる出方を全体から引く。和が $a+1,a+2,\dots ,12$ となる出方の数は $$1+2+\cdots +(12-a)={\displaystyle \frac{(12-a)(13-a)}{2}}$$ である。したがって $$p=1-{\displaystyle \frac{(12-a)(13-a)}{72}}(7\leqq a\leqq 12)$$ である。まとめると$$p=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a(a-1)}{72}},& 2\leqq a\leqq 7,\\ 1-{\displaystyle \frac{(12-a)(13-a)}{72}},& 7\leqq a\leqq 12.\end{array}$$ $a=7$ ではどちらの式でも同じ値になる。

(3) $X$ は二項分布なので $$q(r)={}_n{\mathrm{C}}_r{p}^r(1-p{)}^{n-r}$$ である。したがって$${\displaystyle \frac{q(r+1)}{q(r)}}={\displaystyle \frac{{}_n{\mathrm{C}}_{r+1}}{{}_n{\mathrm{C}}_r}}\cdot {\displaystyle \frac{p}{1-p}}={\displaystyle \frac{n-r}{r+1}}\cdot {\displaystyle \frac{p}{1-p}}$$である。 $q(r)$ が $r=r_0$ で最大となるためには、$r_0$ までは増加し、その次では減少に転じればよい。すなわち $${\displaystyle \frac{q(r_0)}{q(r_0-1)}}>1,{\displaystyle \frac{q(r_0+1)}{q(r_0)}}<1$$ が必要十分である。上の比を用いると、前者は $${\displaystyle \frac{n-r_0+1}{r_0}}\cdot {\displaystyle \frac{p}{1-p}}>1$$ であり、これは $(n+1)p>r_0$ すなわち $$p>{\displaystyle \frac{r_0}{n+1}}$$ と同値である。後者は $${\displaystyle \frac{n-r_0}{r_0+1}}\cdot {\displaystyle \frac{p}{1-p}}<1$$ であり、これは $(n+1)p<r_0+1$ すなわち $$p<{\displaystyle \frac{r_0+1}{n+1}}$$ と同値である。

よって $${\displaystyle \frac{r_0}{n+1}}<p<{\displaystyle \frac{r_0+1}{n+1}}$$ が必要十分である。

(4) $n=10$、$r_0=7$ とすると、(3)より必要十分条件は $${\displaystyle \frac{7}{11}}<p<{\displaystyle \frac{8}{11}}$$ である。

(2) の式から順に調べる。$a=7$ では $$p={\displaystyle \frac{7\cdot 6}{72}}={\displaystyle \frac{7}{12}}<{\displaystyle \frac{7}{11}}$$ であり小さい。$a=8$ では、和が8以下となる出方は $1+2+3+4+5+6+5=26$ 通りなので $$p={\displaystyle \frac{26}{36}}={\displaystyle \frac{13}{18}}$$ である。これは $${\displaystyle \frac{7}{11}}<{\displaystyle \frac{13}{18}}<{\displaystyle \frac{8}{11}}$$ を満たす。$a=9$ では $$p={\displaystyle \frac{30}{36}}={\displaystyle \frac{5}{6}}>{\displaystyle \frac{8}{11}}$$ となり大きすぎる。したがって求める整数は $a=8$ である。

各回の成功を表す0・1変数の和として期待値を求める。最大項の条件は $q(r_0)$ と両隣だけを直接比較し、最後にサイコロの和の表で $a$ を決める。

(1)

第 $j$ 回に $A$ が起これば1、起こらなければ0となる数を $I_j$ とする。$$X=I_1+\cdots +I_n\mathrm{.}$$各 $I_j$ の期待値は $p$ だから$$\mathrm{E}(X)=np\mathrm{.}$$(2)

2個の目の和が $a$ 以下となる組数を数えると$$p=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{a(a-1)}{72}}& (2\leqq a\leqq 7),\\ 1-{\displaystyle \frac{(12-a)(13-a)}{72}}& (7\leqq a\leqq 12)\mathrm{.}\end{array}$$(3)$$q(r)={}_n{\mathrm{C}}_r{p}^r(1-p{)}^{n-r}$$だから$${\displaystyle \frac{q(r+1)}{q(r)}}={\displaystyle \frac{n-r}{r+1}}{\displaystyle \frac{p}{1-p}}\mathrm{.}$$$r_0$ がただ1つの最大位置であるための条件は$$q(r_0)>q(r_0-1),q(r_0)>q(r_0+1)\mathrm{.}$$第1の不等式は$${\displaystyle \frac{n-r_0+1}{r_0}}{\displaystyle \frac{p}{1-p}}>1⟺p>{\displaystyle \frac{r_0}{n+1}},$$第2の不等式は$${\displaystyle \frac{n-r_0}{r_0+1}}{\displaystyle \frac{p}{1-p}}<1⟺p<{\displaystyle \frac{r_0+1}{n+1}}\mathrm{.}$$確率列の隣接比は $r$ とともに減少するから、この2条件で全体の最大も保証される。

(4) $${\displaystyle \frac{7}{11}}<p<{\displaystyle \frac{8}{11}}\mathrm{.}$$サイコロの和の累積確率は$$\begin{array}{cccc}a& 7& 8& 9\\ p& {\displaystyle \frac{7}{12}}& {\displaystyle \frac{13}{18}}& {\displaystyle \frac{5}{6}}\end{array}$$である。この範囲に入るのは $13\mathrm{/}18$ だけだから$$a=8.$$