九州大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
袋の中の玉の総数を $N=a+b$ とおく。2個とも $x$ である確率は$${\displaystyle \frac{{}_a{\mathrm{C}}_2}{{}_N{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{a(a-1)}{N(N-1)}}$$であり、このとき点は $(2,0)$ に移る。

1個が $x$、1個が $y$ である確率は $${\displaystyle \frac{ab}{{}_N{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{2ab}{N(N-1)}}$$ であり、このとき点は $(1,1)$ に移る。

2個とも $y$ である確率は$${\displaystyle \frac{{}_b{\mathrm{C}}_2}{{}_N{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{b(b-1)}{N(N-1)}}$$であり、このとき点は $(0,2)$ に移る。したがって1回後に存在し得る点と確率は$$(2,0):{\displaystyle \frac{a(a-1)}{N(N-1)}},(1,1):{\displaystyle \frac{2ab}{N(N-1)}},(0,2):{\displaystyle \frac{b(b-1)}{N(N-1)}}$$である。

(2)
簡単のため$$p={\displaystyle \frac{a(a-1)}{N(N-1)}},q={\displaystyle \frac{2ab}{N(N-1)}},r={\displaystyle \frac{b(b-1)}{N(N-1)}}$$とおく。1回の移動はそれぞれ $(2,0),(1,1),(0,2)$ であり、確率は $p,q,r$ である。2回後の点はこの2回の移動の和であるから、$(4,0):p^2$ である。 $(3,1)$ は $(2,0)+(1,1)$ または $(1,1)+(2,0)$ で起こるので $(3,1):2pq$ である。$(2,2)$ は $(1,1)+(1,1)$ または $(2,0)+(0,2)$、$(0,2)+(2,0)$ で起こるので $(2,2):q^2+2pr$ である。同様に $(1,3):2qr,(0,4):r^2$ である。したがって$$\begin{array}{cccccc}\text{点}& (4,0)& (3,1)& (2,2)& (1,3)& (0,4)\\ \text{確率}& p^2& 2pq& q^2+2pr& 2qr& r^2\end{array}$$である。

(3) $a=b$ とする。このとき対称性より $p=r$ である。また$$p=r={\displaystyle \frac{a(a-1)}{2a(2a-1)}}={\displaystyle \frac{a-1}{2(2a-1)}},q={\displaystyle \frac{2a^2}{2a(2a-1)}}={\displaystyle \frac{a}{2a-1}}$$である。したがって $$q={\displaystyle \frac{2a}{2(2a-1)}}>{\displaystyle \frac{a-1}{2(2a-1)}}=p$$ である。

2回後の確率は、対称性により $(4,0)\text{ と }(0,4):p^2,(3,1)\text{ と }(1,3):2pq$ であり、中央の点 $(2,2)$ の確率は $q^2+2p^2$ である。

まず $q^2+2p^2-p^2=q^2+p^2>0$ なので、中央の確率は端の確率より大きい。また $$q^2+2p^2-2pq=(q-p{)}^2+p^2>0$$ なので、中央の確率は隣の確率よりも大きい。したがって2回後に点 $P$ が存在する確率が最も大きい点は $(2,2)$ である。

1回の移動を2変数の多項式で表し、その2乗の各項を2回後の点と確率に対応させる。$a=b$ では係数の対称性を使って中央の項を比較する。

(1)

$N=a+b$ とし$$p={\displaystyle \frac{a(a-1)}{N(N-1)}},q={\displaystyle \frac{2ab}{N(N-1)}},r={\displaystyle \frac{b(b-1)}{N(N-1)}}$$とおく。1回後の点と確率は$$(2,0):p,(1,1):q,(0,2):r\mathrm{.}$$(2)

横方向の移動を $u$、縦方向の移動を $v$ で表すと、
1回の移動は多項式$$p{u}^2+quv+r{v}^2$$に対応する。2回後はその2乗$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (p{u}^2+quv+r{v}^2{)}^2=}& {\displaystyle p^2{u}^4+2pq{u}^{3}v}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +(q^2+2pr)u^2{v}^2+2qru{v}^3+r^2{v}^4}\end{array}$$に対応する。したがって$$\begin{array}{cccccc}\text{点}& (4,0)& (3,1)& (2,2)& (1,3)& (0,4)\\ \text{確率}& p^2& 2pq& q^2+2pr& 2qr& r^2\end{array}$$である。

(3)

$a=b$ なら $p=r$ であり$$p={\displaystyle \frac{a-1}{2(2a-1)}},q={\displaystyle \frac{a}{2a-1}}>p\mathrm{.}$$中央の点の確率と他の確率との差は$$q^2+2p^2-p^2=q^2+p^2>0$$および$$q^2+2p^2-2pq=(q-p{)}^2+p^2>0$$である。対称性により残る2点との比較も同じだから、
最大となる点は$$(2,2)$$である。