九州大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
4個のプレゼントは公平に配られるので、$A$ 君に当たるプレゼントは4個のうちどれも同じ確率である。したがって、$A$ 君が自分のプレゼントに当たる確率は ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

(2)
全体の配り方は $4!=24$ 通りである。$A$ 君に $B$ 君のプレゼントが当たることを固定すると、残りは $B,C,D$ の3人へ、$A,C,D$ の3個のプレゼントを配るので $3!=6$ 通りである。

このうち、残りの $B,C,D$ の誰かが自分自身のプレゼントに当たる場合を数える。ただし、$B$ 君のプレゼントはすでに $A$ 君に渡っているので、$B$ 君が自分のプレゼントに当たることはない。したがって、$C$ 君または $D$ 君が自分のプレゼントに当たる場合を数えればよい。 $C$ 君が自分のプレゼントに当たる場合は、残る $B,D$ への配り方が2通りである。同様に $D$ 君が自分のプレゼントに当たる場合も2通りである。両方が自分のプレゼントに当たる場合は1通り重複して数えている。よって条件を満たす配り方は $2+2-1=3$ 通りである。したがって求める確率は $${\displaystyle \frac{3}{24}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。

(3)
誰も自分のプレゼントに当たらない配り方を数える。全体は24通りである。少なくとも1人が自分のプレゼントに当たる配り方を包除で数えると、$${}_4{\mathrm{C}}_1\cdot 3!-{}_4{\mathrm{C}}_2\cdot 2!+{}_4{\mathrm{C}}_3\cdot 1!-{}_4{\mathrm{C}}_4\cdot 0!=24-12+4-1=15$$通りである。したがって誰も自分のプレゼントに当たらない配り方は $24-15=9$ 通りである。よって確率は $${\displaystyle \frac{9}{24}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$$ である。

プレゼントの配り方を順列の巡回構造で分類する。(2)は6通りを直接確認し、(3)は4-cycleと2つの2-cycleに分けて数える。

(1)

$A$ が受け取るプレゼントは4個のどれも同様に確からしいので$${\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$(2)

$A$ が $B$ のプレゼントを受け取ると固定する。
残る $B,C,D$ へ $A,C,D$ のプレゼントを配る方法は6通りである。
このうち $C$ または $D$ が自分のプレゼントを受け取るものは$$(A,C,D),(C,A,D),(D,C,A)$$の3通りである。ここで各組は $B,C,D$ が受け取るプレゼントを順に表す。
したがって、全24通りのうち条件を満たすものは3通りであり、確率は$${\displaystyle \frac{3}{24}}={\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$(3)

誰も自分のプレゼントを受け取らない順列は、巡回構造が次のどちらかである。$$\begin{array}{cc}\text{巡回構造}& \text{個数}\\ 4\text{人の1つの巡回}& (4-1)!=6\\ 2\text{人ずつの2つの巡回}& 3\end{array}$$したがって該当する配り方は $6+3=9$ 通りであり、確率は$${\displaystyle \frac{9}{24}}={\displaystyle \frac{3}{8}}\mathrm{.}$$