九州大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
与えられた方程式は $(k-1)x^2-kx+y=0$ であるから，$$y=(1-k)x^2+kx=x^2+k(x-x^2)$$ と書ける。

点 $P=(u,v)$ が曲線 $C_k$ 上にあるとする。もし $u=0$ なら上の式から $v=0$ となり，$P=A$ である。もし $u=1$ なら $v=1$ となり，$P=B$ である。いま $P$ は $A,B$ 以外だから $u\mathrm{\ne }0,u\mathrm{\ne }1$ である。

このとき $v=u^2+k(u-u^2)$ より $$k={\displaystyle \frac{v-u^2}{u-u^2}}$$ と決まる。分母は $u\mathrm{\ne }0,1$ により0でないので，$k$ は高々1つしかない。したがって，点 $P$ を通る放物線 $C_k$ はたかだか1つである。

(2) $C_k$ は $y=(1-k)x^2+kx$ であり，$0\leqq k<1$ だから2次の係数 $1-k$ は正である。頂点の $x$ 座標を $X$，$y$ 座標を $Y$ とすると $$X=-{\displaystyle \frac{k}{2(1-k)}}$$ であり，$$Y=(1-k)X^2+kX=-{\displaystyle \frac{k^2}{4(1-k)}}$$ である。

ここで $0\leqq k<1$ から $X\leqq 0$ である。逆に $X\leqq 0$ に対して $$k={\displaystyle \frac{2X}{2X-1}}$$ とおけば $0\leqq k<1$ を満たすので，範囲は $X\leqq 0$ で尽くされる。 $$X=-{\displaystyle \frac{k}{2(1-k)}}$$ から $$k={\displaystyle \frac{2X}{2X-1}}$$ である。これを $$Y=-{\displaystyle \frac{k^2}{4(1-k)}}$$ に代入すると $$Y={\displaystyle \frac{X^2}{2X-1}}$$ を得る。したがって頂点が描く曲線は $$y={\displaystyle \frac{x^2}{2x-1}}(x\leqq 0)$$ である。

(1) では2つのパラメータ $k,\mathrm{\ell }$ に対応する曲線の式を引き算し，共通点が $A,B$ に限られることを示す。(2)では $r=k\mathrm{/}(1-k)$ と置いてパラメータ区間を $r\geqq 0$ に直し，頂点座標から $r$ を消去する。

(1)
$P=(x,y)$ が $C_k$ と $C_{\mathrm{\ell }}$ の両方にあるとする。2つの方程式を引くと$$(k-\mathrm{\ell })(x^2-x)=0.$$$k\mathrm{\ne }\mathrm{\ell }$ なら $x=0$ または $x=1$ である。$x=0$ をもとの式へ代入すると $y=0$ なので $P=A$，$x=1$ なら $y=1$ なので $P=B$ である。したがって $P\mathrm{\ne }A,B$ なら $k=\mathrm{\ell }$ でなければならず，$P$ を通る $C_k$ は高々1つである。

(2) $$r={\displaystyle \frac{k}{1-k}}$$とおく。$0\leqq k<1$ と $r\geqq 0$ は同値であり，$$1-k={\displaystyle \frac{1}{1+r}},k={\displaystyle \frac{r}{1+r}}\mathrm{.}$$よって$$C_k:y={\displaystyle \frac{x^2+rx}{1+r}}\mathrm{.}$$頂点を $(X,Y)$ とすると$$X=-{\displaystyle \frac{r}{2}},Y=-{\displaystyle \frac{r^2}{4(1+r)}}\mathrm{.}$$$r=-2X$ を代入して$$Y={\displaystyle \frac{X^2}{2X-1}}\mathrm{.}$$また $r\geqq 0$ は $X\leqq 0$ と同値である。逆に任意の $X\leqq 0$ に対し $r=-2X\geqq 0$ とすれば対応する $k$ が得られる。したがって軌跡は$$y={\displaystyle \frac{x^2}{2x-1}},x\leqq 0$$である。