九州大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
放物線 $y^2=4px$ の焦点は $F(p,0)$ である。焦点を通る直線を，まず傾き $m$ を用いて $y=m(x-p)$ とおく。ただし，垂直な直線の場合は後で得られる軌跡の端点として含まれる。

この直線上では $$x=p+{\displaystyle \frac{y}{m}}$$ である。これを $y^2=4px$ に代入すると $$y^2=4p(p+{\displaystyle \frac{y}{m}})$$ すなわち $$y^2-{\displaystyle \frac{4p}{m}}y-4p^2=0$$ となる。2交点の $y$ 座標を $y_1,y_2$ とすると，解と係数の関係より $$y_1+y_2={\displaystyle \frac{4p}{m}},y_1{y}_2=-4p^2$$ である。

2交点の中点を $(X,Y)$ とする。すると $$Y={\displaystyle \frac{y_1+y_2}{2}}={\displaystyle \frac{2p}{m}}$$ である。また各交点の $x$ 座標は $p+{\displaystyle \frac{y_i}{m}}$ だから $$X=p+{\displaystyle \frac{y_1+y_2}{2m}}=p+{\displaystyle \frac{2p}{m^2}}$$ である。ここで $$Y={\displaystyle \frac{2p}{m}}$$ より $$X-p={\displaystyle \frac{Y^2}{2p}}$$ となる。したがって中点の軌跡は $Y^2=2p(X-p)$ である。通常の座標 $x,y$ で書けば $y^2=2p(x-p)$ である。

これは $$y^2=4\cdot {\displaystyle \frac{p}{2}}(x-p)$$ であるから，頂点は $(p,0)$，焦点距離は $p\mathrm{/}2$ である。よって焦点は $$(p+{\displaystyle \frac{p}{2}},0)=({\displaystyle \frac{3p}{2}},0)$$ である。

(2)
一般に，頂点が $(h_n,0)$，焦点距離が $p_n$ の放物線を $y^2=4p_n(x-h_n)$ と書く。(1)の結果を平行移動して用いると，次に得られる放物線は $y^2=2p_n\{x-(h_n+p_n)\}$ である。したがって $$p_{n+1}={\displaystyle \frac{p_n}{2}},h_{n+1}=h_n+p_n$$ が成り立つ。

初めの放物線 $P_0:y^2=4x$ では $p_0=1,h_0=0$ である。よって $$p_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}}$$ であり，$$h_n=p_0+p_1+\cdots +p_{n-1}=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{2^{n-1}}}=2(1-{\displaystyle \frac{1}{2^n}})$$である。

したがって$$P_n:y^2={\displaystyle \frac{4}{2^n}}\{x-2(1-{\displaystyle \frac{1}{2^n}})\}$$である。$P_n$ の焦点は$$(h_n+p_n,0)=(2(1-{\displaystyle \frac{1}{2^n}})+{\displaystyle \frac{1}{2^n}},0)=(2-{\displaystyle \frac{1}{2^n}},0)$$である。よって $n\to \mathrm{\infty }$ のとき，焦点は $(2,0)$ に近づく。

放物線上の点を媒介変数で表し，焦点を通る弦の両端の媒介変数の積が $-1$ になることを使う。中点座標から媒介変数を消去すると，一般の頂点位置と焦点距離が一度に更新できるため，反復後の式もその漸化式から求める。

(1)
放物線 $y^2=4px$ 上の2点を$$P_s=(p{s}^2,2ps),P_r=(p{r}^2,2pr)$$と表す。2点を結ぶ直線の傾きは$${\displaystyle \frac{2p(s-r)}{p(s^2-r^2)}}={\displaystyle \frac{2}{s+r}}$$である。この直線が焦点 $F(p,0)$ を通る条件は$${\displaystyle \frac{2ps}{p{s}^2-p}}={\displaystyle \frac{2}{s+r}}$$であり，整理すると$$sr=-1$$となる。

弦の中点を $(X,Y)$ とすれば$$X={\displaystyle \frac{p(s^2+r^2)}{2}},Y=p(s+r)\mathrm{.}$$$sr=-1$ より$$(s+r{)}^2=s^2+r^2-2$$だから$$X=p+{\displaystyle \frac{Y^2}{2p}}\mathrm{.}$$したがって軌跡は$$Y^2=2p(X-p)\mathrm{.}$$その頂点は $(p,0)$，焦点距離は $p\mathrm{/}2$ なので，焦点は$$({\displaystyle \frac{3p}{2}},0)$$である。

(2)
一般に$$P_n:y^2=4p_n(x-h_n)$$と書く。同じ媒介変数計算を $x$ 方向へ $h_n$ だけ平行移動して使うと，次の放物線は$$y^2=2p_n\{x-(h_n+p_n)\}\mathrm{.}$$よって$$h_{n+1}=h_n+p_n,p_{n+1}={\displaystyle \frac{p_n}{2}}\mathrm{.}$$$h_0=0,p_0=1$ から$$p_n={\displaystyle \frac{1}{2^n}},h_n=\sum _{j=0}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{2^j}}=2(1-{\displaystyle \frac{1}{2^n}})\mathrm{.}$$したがって$$P_n:y^2={\displaystyle \frac{4}{2^n}}\{x-2(1-{\displaystyle \frac{1}{2^n}})\}\mathrm{.}$$焦点は$$(h_n+p_n,0)=(2-{\displaystyle \frac{1}{2^n}},0)$$なので，$n$ を限りなく大きくすると$$(2,0)$$へ近づく。