九州大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)

上を $U$、下を $D$ と書く。太郎君が勝つとき、最後の試行は4回目の $U$ である。その直前までに出た $D$ の回数を $j$ とすると、負けが先に決まらないためには $j=0,1,2$ であればよい。最後を除く $3+j$ 回の中に $D$ が $j$ 回あるので、その並べ方は ${}_{3+j}{\mathrm{C}}_j$ 通りである。

したがって勝つ確率は$$\sum _{j=0}^2{}_{3+j}{\mathrm{C}}_j{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^4{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^j$$である。各項を計算すると$${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^4+4{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^4\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)+10{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^4{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2$$ $$={\displaystyle \frac{16}{81}}+{\displaystyle \frac{64}{243}}+{\displaystyle \frac{160}{729}}={\displaystyle \frac{496}{729}}\mathrm{.}$$ (2)

5回目で太郎君が勝つには、最初の4回に $U$ が3回、$D$ が1回出て、5回目に $U$ が出ればよい。よってその確率は$${}_4{\mathrm{C}}_1{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^4\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{64}{243}}\mathrm{.}$$5回目で太郎君が負けるには、最初の4回に $D$ が2回、$U$ が2回出て、5回目に $D$ が出ればよい。よってその確率は$${}_4{\mathrm{C}}_2{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3={\displaystyle \frac{8}{81}}\mathrm{.}$$したがって、5回目で勝負が決まったという条件のもとで太郎君が勝った確率は$${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{64}{243}}}{{\displaystyle \frac{64}{243}}+{\displaystyle \frac{8}{81}}}}={\displaystyle \frac{64}{64+24}}={\displaystyle \frac{8}{11}}\mathrm{.}$$(3)

勝つ場合を、最後の $U$ の前に出た $D$ の回数 $j$ で分ける。終了時には $U$ が4回、$D$ が $j$ 回なので、得点は $4-j$ である。したがって勝って終わる場合からの平均得点への寄与は$$\sum _{j=0}^2{}_{3+j}{\mathrm{C}}_j{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^4{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^j(4-j)$$である。

負ける場合を、最後の $D$ の前に出た $U$ の回数 $i$ で分ける。このとき最後の前には $D$ が2回出ているので、並べ方は ${}_{2+i}{\mathrm{C}}_i$ 通りであり、終了時の得点は $i-3$ である。よって負けて終わる場合からの寄与は$$\sum _{i=0}^3{}_{2+i}{\mathrm{C}}_i{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^i(i-3)$$である。

以上より平均得点は$$\sum _{j=0}^2{}_{3+j}{\mathrm{C}}_j{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^4{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^j(4-j)+\sum _{i=0}^3{}_{2+i}{\mathrm{C}}_i{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^i(i-3)$$である。これを計算すると、勝ち側は$$4\cdot {\displaystyle \frac{16}{81}}+3\cdot {\displaystyle \frac{64}{243}}+2\cdot {\displaystyle \frac{160}{729}}={\displaystyle \frac{1468}{729}}$$であり、負け側は$$-3\cdot {\displaystyle \frac{1}{27}}-2\cdot {\displaystyle \frac{2}{27}}-1\cdot {\displaystyle \frac{4}{27}}+0\cdot {\displaystyle \frac{40}{729}}=-{\displaystyle \frac{257}{729}}$$である。したがって平均得点は $${\displaystyle \frac{1468}{729}}-{\displaystyle \frac{257}{729}}={\displaystyle \frac{1211}{729}}\mathrm{.}$$

状態 $(u,d)$ からの勝率 $W_{u,d}$ と最終得点期待値 $E_{u,d}$ を後ろ向きに計算する。(2)だけは5回目終了の二つの状態遷移を比較して条件付き確率を求める。

$W_{u,d}$ を、上が $u$ 回、下が $d$ 回出た状態から最終的に勝つ確率とする。境界条件と漸化式は$$W_{4,d}=1,W_{u,3}=0,W_{u,d}={\displaystyle \frac{2}{3}}{W}_{u+1,d}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{W}_{u,d+1}\mathrm{.}$$(1)
終端から逆に計算すると$$W_{0,0}={\displaystyle \frac{496}{729}}\mathrm{.}$$(2)
5回目に勝つ確率は$${}_4{\mathrm{C}}_1{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^4{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{64}{243}},$$5回目に負ける確率は$${}_4{\mathrm{C}}_2{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^2{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^3={\displaystyle \frac{8}{81}}\mathrm{.}$$したがって条件付き確率は$${\displaystyle \frac{64\mathrm{/}243}{64\mathrm{/}243+8\mathrm{/}81}}={\displaystyle \frac{8}{11}}\mathrm{.}$$(3)
$E_{u,d}$ を同じ状態からの最終得点の期待値とする。境界条件は$$E_{4,d}=4-d,E_{u,3}=u-3$$であり、途中では$$E_{u,d}={\displaystyle \frac{2}{3}}{E}_{u+1,d}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{E}_{u,d+1}\mathrm{.}$$後ろ向きに代入すると$$E_{0,0}={\displaystyle \frac{1211}{729}}\mathrm{.}$$よって平均得点は ${\displaystyle 1211\mathrm{/}729}$ である。