九州大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

最初はA袋、B袋のどちらにも赤球と白球が1個ずつ入っている。2回操作した後のA袋の状態を調べる。

1回目に同じ色を取り出す確率は $1\mathrm{/}2$ であり、このとき2個ともA袋に入る。1回目に異なる色を取り出す確率も $1\mathrm{/}2$ であり、このとき2個ともB袋に入る。これをさらに1回操作まで追うと、A袋の状態は $4\text{個},\text{赤白}1\text{個ずつ},\text{同色}2\text{個},0\text{個}$ に分かれ、それぞれの確率は$$p_1={\displaystyle \frac{1}{6}},q_1={\displaystyle \frac{1}{3}},r_1={\displaystyle \frac{1}{6}},s_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$$である。

(2)

2回分の遷移を調べる。A袋に赤白1個ずつ入っている状態から2回操作すると、(1)と同じ構造なので $4\text{個},\text{赤白}1\text{個ずつ},\text{同色}2\text{個},0\text{個}$ へ移る確率はそれぞれ ${\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{6}},{\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

一方、A袋に同色2個が入っている状態を考える。例えばA袋に赤球2個、B袋に白球2個が入っている場合を考えれば十分である。次の1回では必ず異なる色を取り出すので、取り出した2個はB袋に入る。その後、A袋には赤球が1個だけ残り、B袋には赤球1個と白球2個が入っている。次の操作でB袋から赤球を選ぶ確率は $1\mathrm{/}3$、白球を選ぶ確率は $2\mathrm{/}3$ である。したがって同色2個の状態からは、同色2個の状態へ $1\mathrm{/}3$、0個の状態へ $2\mathrm{/}3$ の確率で移る。

4個の状態と0個の状態は、どちらかの袋が空なのでそのまま止まる。よって $n\geqq 2$ で $$p_n=p_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{6}}{q}_{n-1},$$ $q_n={\displaystyle \frac{1}{3}}{q}_{n-1},$ $$r_n={\displaystyle \frac{1}{6}}{q}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{r}_{n-1},$$ $$s_n=s_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{q}_{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{r}_{n-1}$$ である。

(3)

まず $$q_1={\displaystyle \frac{1}{3}},q_n={\displaystyle \frac{1}{3}}{q}_{n-1}$$ より $$q_n={\displaystyle \frac{1}{3^n}}$$ である。

次に $$r_n={\displaystyle \frac{1}{3}}{r}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{6\cdot 3^{n-1}}}$$ である。両辺に $3^n$ をかけて $$3^n{r}_n=3^{n-1}{r}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ を得る。$3r_1=1\mathrm{/}2$ だから、帰納的に $$3^n{r}_n={\displaystyle \frac{n}{2}}$$ であり $$r_n={\displaystyle \frac{n}{2\cdot 3^n}}$$ である。

また$$p_n=p_1+\sum _{j=1}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{6}}{q}_j={\displaystyle \frac{1}{6}}+\sum _{j=1}^{n-1}{\displaystyle \frac{1}{6\cdot 3^j}}$$である。等比数列の和を計算して $$p_n={\displaystyle \frac{3^n-1}{4\cdot 3^n}}$$ となる。

最後に4つの状態の確率の和は1であるから $s_n=1-p_n-q_n-r_n$ である。したがって $$s_n={\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{2n+3}{4\cdot 3^n}}$$ である。

2つの非吸収状態の遷移を2次行列にまとめ、そのべきから $q_n,r_n$ を同時に求める。

(1)

最初の2回を直接追うと$$p_1={\displaystyle \frac{1}{6}},q_1={\displaystyle \frac{1}{3}},r_1={\displaystyle \frac{1}{6}},s_1={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$(2)

2回ごとの非吸収状態を$${\mathit{v}}_n=\left(\begin{array}{c}{q}_n\\ r_n\end{array}\right)$$とする。解法1で求めた遷移から$${\mathit{v}}_n=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{3}}& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right){\mathit{v}}_{n-1},{\mathit{v}}_1=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$吸収状態への流入も合わせると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle =p_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{6}}{q}_{n-1},}\\ {\displaystyle q_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}{q}_{n-1},}\\ {\displaystyle r_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}{q}_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{r}_{n-1},}\\ {\displaystyle s_n}& {\displaystyle =s_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{q}_{n-1}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{r}_{n-1}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

この行列を$$M={\displaystyle \frac{1}{3}}I+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ {\displaystyle \frac{1}{6}}& 0\end{array}\right)$$と見ると、後半の行列の2乗は零行列なので$$M^k={\displaystyle \frac{1}{3^k}}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ {\displaystyle \frac{k}{2}}& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$よって$$q_n={\displaystyle \frac{1}{3^n}},r_n={\displaystyle \frac{n}{2\cdot 3^n}}\mathrm{.}$$また、4個の吸収状態へは各段階で $q_j\mathrm{/}6$ が流入するから$$p_n={\displaystyle \frac{1}{6}}+\sum _{j=1}^{n-1}{\displaystyle \frac{q_j}{6}}={\displaystyle \frac{3^n-1}{4\cdot 3^n}}\mathrm{.}$$全確率から$$s_n=1-p_n-q_n-r_n={\displaystyle \frac{3}{4}}-{\displaystyle \frac{2n+3}{4\cdot 3^n}}\mathrm{.}$$特に $n=1$ を代入すると$$p_1={\displaystyle \frac{1}{6}},q_1={\displaystyle \frac{1}{3}},r_1={\displaystyle \frac{1}{6}},s_1={\displaystyle \frac{1}{3}}$$も同時に確認できる。