九州大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)
座標を $C=(0,0),B=(1,0)$ と置く。$BC$ を $x$ 軸とするので、$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足 $H$ の横座標は、点 $A$ の横座標と等しい。 $q=\tan x$ とおく。$$\mathrm{\angle }PCB={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ だから、直線 $CP$ の傾きは1である。また $\mathrm{\angle }PCA=x$ より、直線 $CA$ が $x$ 軸の正の向きとなす角は ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}+x$ である。したがって直線 $CA$ の傾きは $$\tan ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}+x)={\displaystyle \frac{1+q}{1-q}}$$ である。

一方、$\mathrm{\angle }ABC=2x$ だから、直線 $BA$ の傾きは $$-\tan 2x=-{\displaystyle \frac{2q}{1-q^2}}$$ である。よって直線 $BA$ は $$y=-{\displaystyle \frac{2q}{1-q^2}}(X-1)$$ と表せる。点 $A$ の横座標を $X$ とすると、$A$ は直線 $CA$ 上にもあるので $${\displaystyle \frac{1+q}{1-q}}X=-{\displaystyle \frac{2q}{1-q^2}}(X-1)$$ である。分母を払って整理すると $(1+q{)}^{2}X=2q(1-X)$ であり、$(q^2+4q+1)X=2q$ となる。したがって $$X={\displaystyle \frac{2q}{q^2+4q+1}}$$ である。

よって $$y=BH=1-X=1-{\displaystyle \frac{2q}{q^2+4q+1}}={\displaystyle \frac{(q+1{)}^2}{q^2+4q+1}}$$ である。$s=1+q$ だから $q=s-1$ を代入して $$q^2+4q+1=(s-1{)}^2+4(s-1)+1=s^2+2s-2$$ である。ゆえに $$y={\displaystyle \frac{s^2}{s^2+2s-2}}$$ を得る。

(2)
(1)の途中で得た式を使うと$${\displaystyle \frac{1-y}{y}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2q}{q^2+4q+1}}}{{\displaystyle \frac{(q+1{)}^2}{q^2+4q+1}}}}={\displaystyle \frac{2q}{(q+1{)}^2}}$$である。 $${\displaystyle \frac{\pi }{8}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$ では $q=\tan x$ も増加し、さらに $0<q<1$ である。そこで $$\phi (q)={\displaystyle \frac{2q}{(q+1{)}^2}}$$ とおくと $${\phi }^{\mathrm{\prime }}(q)={\displaystyle \frac{2(1-q)}{(q+1{)}^3}}>0$$ である。したがって最大は $q$ が最大、すなわち $$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$ のときに起こる。

このとき $$q={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ だから$${\displaystyle \frac{1-y}{y}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}}}{{(1+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}})}^2}}=2\sqrt{3}-3$$である。よって $$\text{最大値 }2\sqrt{3}-3,x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$ である。

三角形 $ABC$ の3つの角を整理し、正弦定理で $AB$ を求めて$BH=AB\cos 2x$ とする。(2)は差を直接因数分解して単調性を示す。

(1) $$\mathrm{\angle }C=x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}},\mathrm{\angle }B=2x$$だから$$\mathrm{\angle }A={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-3x\mathrm{.}$$正弦定理と $BC=1$ より$$AB={\displaystyle \frac{\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})}{\sin ({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-3x)}}\mathrm{.}$$また、$\mathrm{\angle }ABC=2x$ だから$$y=BH=AB\cos 2x\mathrm{.}$$$q=\tan x$ とおくと、三角関数の加法定理により$$\sin (x+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\cos 2x={\displaystyle \frac{{\cos }^{3}x}{\sqrt{2}}}(1-q)(1+q{)}^2$$であり$$\sin ({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}-3x)={\displaystyle \frac{{\cos }^{3}x}{\sqrt{2}}}(1-q)(q^2+4q+1)\mathrm{.}$$したがって$$y={\displaystyle \frac{(1+q{)}^2}{q^2+4q+1}}\mathrm{.}$$$s=1+q$ を代入して$$y={\displaystyle \frac{s^2}{s^2+2s-2}}\mathrm{.}$$(2)$${\displaystyle \frac{1-y}{y}}={\displaystyle \frac{2q}{(1+q{)}^2}}\mathrm{.}$$$0<q_1<q_2<1$ に対して$${\displaystyle \frac{2q_2}{(1+q_2{)}^2}}-{\displaystyle \frac{2q_1}{(1+q_1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2(q_2-q_1)(1-q_1{q}_2)}{(1+q_1{)}^2(1+q_2{)}^2}}>0.$$よってこの式は $0<q<1$ で増加する。
$\tan x$ も与えられた区間で増加するので、最大は$$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$で生じる。このとき $q=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ だから、最大値は$${\displaystyle \frac{2\mathrm{/}\sqrt{3}}{(1+1\mathrm{/}\sqrt{3}{)}^2}}=2\sqrt{3}-3.$$