九州大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)

1枚のカードを無作為に取り出し、さらにどちらの面が上になるかも同じ確率で起こると考える。すると、上面として現れる可能性のある面は全部で $10\times 2=20$ 面であり、どれも同じ確率である。

白い面は、両面白カード3枚から $3\times 2=6$ 面、片面白片面黒カード4枚から $4$ 面ある。したがって、上面が白である場合は合計 $6+4=10$ 通りである。

このうち下面が黒であるのは、片面白片面黒カードで白面が上に出ている場合だけなので $4$ 通りである。よって求める確率は $${\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$$ である。

(2)

(i)

上面と同じ色を答えて当たるのは、上面と下面が同じ色である場合である。これは両面黒カード3枚と両面白カード3枚の場合であり、面の数で数えると $3\times 2+3\times 2=12$ 通りである。全体は20通りなので、当たる確率は $${\displaystyle \frac{12}{20}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$$ である。

(ii)

上面と異なる色を答えて当たるのは、上面と下面が異なる色である場合である。これは片面白片面黒カード4枚の場合で、上面としては $4\times 2=8$ 通りある。よって当たる確率は $${\displaystyle \frac{8}{20}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$$ である。

(iii)

この方法では、上面の色やカードの種類に関係なく、白と黒をそれぞれ確率 $1\mathrm{/}2$ で答える。下面の色が白であっても黒であっても、正しい色を答える確率は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

したがって当たる確率は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

カードの型を事象としてベイズの公式を使う。(1)は上面が白という条件で型を更新する。(2)は両面同色型と異色型の事前確率から各戦略の成功確率を求める。

カードの型を $BB,WW,BW$ と書く。

(1)
上面が白となる確率は$$P(W_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}})={\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{4}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$上面が白かつ下面が黒となるのは $BW$ 型で白面が上になった場合なので$$P(W_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}}\cap B_{\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{m}})={\displaystyle \frac{4}{10}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{5}}\mathrm{.}$$ベイズの公式から$$P(B_{\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{m}}\mid W_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}})={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}5}{1\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{2}{5}}\mathrm{.}$$(2)
(i) 上面と同じ色が当たるのは両面同色型のときである。$$P(BB\text{ または }WW)={\displaystyle \frac{3+3}{10}}={\displaystyle \frac{3}{5}}\mathrm{.}$$(ii) 上面と異なる色が当たるのは異色型のときである。$$P(BW)={\displaystyle \frac{4}{10}}={\displaystyle \frac{2}{5}}\mathrm{.}$$(iii) 下面がどちらの色でも、二色から無作為に答えて当たる条件付き確率は $1\mathrm{/}2$ である。したがって全確率も$${\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$