九州大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

与えられた変換は$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+k(x+y)\left(\begin{array}{c}1\\ m\end{array}\right)$$である。成分で書くと $x^{\mathrm{\prime }}=x+kx+ky=(1+k)x+ky,$ $$y^{\mathrm{\prime }}=y+mkx+mky=mkx+(1+mk)y\mathrm{.}$$ したがって、変換を表す行列は$$\left(\begin{array}{cc}1+k& k\\ mk& 1+mk\end{array}\right)$$である。

(2)

点 $(1,1)$ は $(1,1)+2k(1,m)$ に移る。$k$ が実数全体を動くので、これは点 $(1,1)$ を通り、方向ベクトル $(1,m)$ をもつ直線である。したがって、求める図形は $y-1=m(x-1)$ である。

(3) $D_1$ の中心を $C_1=(1,1)$、目標の円板の中心を $C_2=(4,3)$ とする。$D_1$ 上の点 $(x,y)$ について $x+y\geqq 2-\sqrt{2}>0$ であるから、$k$ を動かすと $k(x+y)$ は任意の実数を取る。よって、各点 $(x,y)\in D_1$ は方向 $(1,m)$ の直線全体を動ける。

したがって、$k$ を適当に選んだときに変換後の $D_1$ が目標の円板と少なくとも1点を共有するための条件は、直線 $\mathrm{\ell }:(1,1)+t(1,m)$ と点 $C_2=(4,3)$ との距離が、2つの半径の和 $2$ 以下であることである。 $C_2-C_1=(3,2)$ だから、点 $C_2$ と直線 $\mathrm{\ell }$ との距離は ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2-3m\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+m^2}}}$ である。したがって条件は ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }2-3m\mathrm{\mid }}{\sqrt{1+m^2}}}\leqq 2$ であり、両辺は非負なので2乗してよい。 $(2-3m{)}^2\leqq 4(1+m^2)$ すなわち $4-12m+9m^2\leqq 4+4m^2,5m^2-12m\leqq 0.$ よって $m(5m-12)\leqq 0$ であるから $$0\leqq m\leqq {\displaystyle \frac{12}{5}}$$ を得る。

$D_1$ の中心を通り方向ベクトル $(1,m)$ をもつ直線上の点と、もう一方の円板の中心 $(4,3)$ との距離の2乗を、移動量 $t$ の2次式として最小化する。二つの半径1円板が接触できる条件は最小距離が2以下であること。

(1)
成分表示から$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ y^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+k& k\\ km& 1+km\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)
$(1,1)$ の像は$$(1,1)+2k(1,m)$$である。$k$ は任意の実数なので、点 $(1,1)$ を通り方向ベクトル $(1,m)$ をもつ直線全体を描く。

(3)
$D_1$ の各点は $k$ を動かすと方向 $(1,m)$ の直線上を動く。したがって、$D_2$ が中心 $(4,3)$、半径1の円板と交わり得るための必要十分条件は、直線$$(1,1)+t(1,m)$$と $(4,3)$ の距離が2以下となることである。

距離の2乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\Phi }(t)}& {\displaystyle =(t-3{)}^2+(mt-2{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1+m^2)t^2-2(3+2m)t+13.}\end{array}$$その最小値は$$13-{\displaystyle \frac{(3+2m{)}^2}{1+m^2}}={\displaystyle \frac{(2-3m{)}^2}{1+m^2}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{(2-3m{)}^2}{1+m^2}}\leqq 4⟺5m^2-12m\leqq 0.$$したがって$$0\leqq m\leqq {\displaystyle \frac{12}{5}}\mathrm{.}$$