九州大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

曲線 $C$ 上の点は $(x,y)=(x,x^3+a{x}^2+bx+c)$ と表される。変換後の第1座標は $$x^{\mathrm{\prime }}=\alpha x+\beta y=\alpha x+\beta (x^3+a{x}^2+bx+c)$$ である。

もし $\beta \mathrm{\ne }0$ なら、$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ が大きいとき $x^{\mathrm{\prime }}$ は $x^3$ 程度の大きさになる。一方、第2座標 $y^{\mathrm{\prime }}=\gamma x+\delta y$ は高くても $x^3$ 程度である。同じ3次関数のグラフ上にあるなら $y^{\mathrm{\prime }}=(x^{\mathrm{\prime }}{)}^3+a(x^{\mathrm{\prime }}{)}^2+b{x}^{\mathrm{\prime }}+c$ を満たす必要があるが、右辺は $(x^{\mathrm{\prime }}{)}^3$ により $x^9$ 程度になってしまい、左辺と次数が合わない。したがって $\beta =0$ である。

このとき $x^{\mathrm{\prime }}=\alpha x$ である。変換後の点全体が同じ曲線上を動くので、$\alpha =0$ はありえない。また、恒等変換ではないため、あとで $\alpha =1$ は除く。

曲線上の任意の $x$ について$$\gamma x+\delta (x^3+a{x}^2+bx+c)=(\alpha x{)}^3+a(\alpha x{)}^2+b(\alpha x)+c$$が成り立つ。係数を比較すると $\delta ={\alpha }^3,$ $a\delta =a{\alpha }^2,$ $\gamma +b\delta =b\alpha ,$ $c\delta =c$ である。$\delta ={\alpha }^3$ を代入すると $$a{\alpha }^3=a{\alpha }^2,c{\alpha }^3=c\mathrm{.}$$ $\alpha \mathrm{\ne }0$、$\alpha \mathrm{\ne }1$ であるから $a=0,c=0$ を得る。また $$\gamma +b{\alpha }^3=b\alpha$$ より $$\gamma =b\alpha (1-{\alpha }^2)$$ である。

したがって必要な形は $y=x^3+bx$ であり、変換は $$x^{\mathrm{\prime }}=\alpha x,y^{\mathrm{\prime }}=b\alpha (1-{\alpha }^2)x+{\alpha }^{3}y$$ である。ただし $\alpha \mathrm{\ne }0,\alpha \mathrm{\ne }1$ で、$b$ は任意の実数である。

逆に、この形であれば $y=x^3+bx$ を満たす点に対して $$y^{\mathrm{\prime }}=b\alpha (1-{\alpha }^2)x+{\alpha }^3(x^3+bx)={\alpha }^3{x}^3+b\alpha x$$ であり、$x^{\mathrm{\prime }}=\alpha x$ だから $y^{\mathrm{\prime }}=(x^{\mathrm{\prime }}{)}^3+b{x}^{\mathrm{\prime }}$ となる。よってこの条件で十分でもある。

(2)

(1) より考える3次関数は $y=x^3+bx$ である。微分すると $y^{\mathrm{\prime }}=3x^2+b$ であるから、極値をもつには $b<0$ が必要である。このとき $3x^2+b=0$ より $$x=\pm \sqrt{-{\displaystyle \frac{b}{3}}}$$ である。$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=6x$ なので、極大となるのは $$x_0=-\sqrt{-{\displaystyle \frac{b}{3}}}$$ の方である。 $$s=\sqrt{-b\mathrm{/}3}$$ とおくと $s>0$、$b=-3s^2$、$x_0=-s$ である。このとき $$y_0=(-s{)}^3+(-3s^2)(-s)=-s^3+3s^3=2s^3\mathrm{.}$$ 一方、$x_0=-s$ だから $-2x_0^3=-2(-s{)}^3=2s^3\mathrm{.}$ したがって $$y_0=-2x_0^3,x_0<0$$ である。

よって、点 $(x_0,y_0)$ 全体は曲線 $y=-2x^3$ のうち $x<0$ の部分上にある。

次数比較で $x^{\mathrm{\prime }}=\alpha x$ を確定した後、3次曲線にただ一つある変曲点が変換で保たれることを使う。変曲点の $x$ 座標と $y$ 座標を順に比較して $a=c=0$ を幾何的に導き、残る係数と極大点の軌跡を求める。

(1) $$F(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$$とおく。曲線上の点は $(x,F(x))$ であるから、像の第一座標は$$x^{\mathrm{\prime }}=\alpha x+\beta F(x)\mathrm{.}$$$\beta \mathrm{\ne }0$ なら $x^{\mathrm{\prime }}$ は $x$ の3次式となり、$F(x^{\mathrm{\prime }})$ は9次式となる。一方、第二座標$$y^{\mathrm{\prime }}=\gamma x+\delta F(x)$$は高々3次式なので一致できない。ゆえに $\beta =0$ である。

像が曲線全体に一致するため $\alpha \mathrm{\ne }0$ である。また $\alpha =1$ なら
$x^{\mathrm{\prime }}=x$ であり、曲線上で $y^{\mathrm{\prime }}=F(x)=y$ となるため恒等変換である。よって
$\alpha \mathrm{\ne }1$ である。

曲線 $C$ の変曲点はただ一つで、その $x$ 座標は$$x_{\mathrm{i}}=-{\displaystyle \frac{a}{3}}$$である。変換は $C$ を自身へ移すので、この変曲点も自身へ移る。一方
$x^{\mathrm{\prime }}=\alpha x$ だから$$\alpha x_{\mathrm{i}}=x_{\mathrm{i}}\mathrm{.}$$$\alpha \mathrm{\ne }1$ より $x_{\mathrm{i}}=0$、したがって $a=0$ である。

このとき変曲点は $(0,c)$ である。最高次係数を比較すれば
$\delta ={\alpha }^3$ なので、変曲点が固定される条件は$${\alpha }^{3}c=c\mathrm{.}$$実数 $\alpha$ について ${\alpha }^3=1$ は $\alpha =1$ だけであるから、
$c=0$ となる。

残る係数は、曲線上で成り立つ恒等式$$\gamma x+\delta F(x)=F(\alpha x)$$の $x^3,x$ の係数から$$\delta ={\alpha }^3,\gamma +b{\alpha }^3=b\alpha \mathrm{.}$$したがって$$a=0,c=0,\gamma =b\alpha (1-{\alpha }^2),\delta ={\alpha }^3,$$ただし$$b\in \mathbb{R},\alpha \in \mathbb{R}\setminus \{0,1\}\mathrm{.}$$逆に、この条件なら$$y^{\mathrm{\prime }}=b\alpha (1-{\alpha }^2)x+{\alpha }^3(x^3+bx)=(\alpha x{)}^3+b(\alpha x)$$となるので十分でもある。

(2)
曲線は $y=x^3+bx$ である。極大をもつには $b<0$ が必要で、$$3x_0^2+b=0,x_0<0.$$よって $b=-3x_0^2$ であり、$$y_0=x_0^3+b{x}_0=-2x_0^3\mathrm{.}$$したがって軌跡は$$y=-2x^3(x<0)$$である。