九州大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
正六角形の一辺の長さは $1$ で、$\mathrm{\angle }BAF={120}^{\circ }$ である。したがって $$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=1,\vec{a}\cdot \vec{b}=\cos {120}^{\circ }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

内接円の中心を $O$ とすると、正六角形の対称性から $$\overrightarrow{AO}=\vec{a}+\vec{b}$$ である。また内接円の半径は、正三角形を半分にした直角三角形から ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ である。よって $$\overrightarrow{AP}=\vec{x}$$ が内接円上にある条件は $$\mathrm{\mid }\vec{x}-(\vec{a}+\vec{b}){\mathrm{\mid }}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。

これを内積で展開する。まず $$\mathrm{\mid }\vec{a}+\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=1+1+2(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=1$$ なので $$\vec{x}\cdot \vec{x}-2(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{x}+1={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。したがって求めるベクトル方程式は $$\vec{x}\cdot \vec{x}-2(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{x}+{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$$ である。

(2) $$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$$ であり、正六角形の頂点の並びから $$\overrightarrow{AC}=2\vec{a}+\vec{b}$$ である。$Q$ は $BC$ の中点だから$$\overrightarrow{AQ}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})={\displaystyle \frac{1}{2}}(\vec{a}+2\vec{a}+\vec{b})={\displaystyle \frac{3\vec{a}+\vec{b}}{2}}$$である。

(3)
条件 $$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AQ}$$ より $$\vec{x}={\displaystyle \frac{k}{2}}(3\vec{a}+\vec{b})$$ である。ここで $$\mathrm{\mid }3\vec{a}+\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=9+1+6(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=7$$ より $$\vec{x}\cdot \vec{x}={\displaystyle \frac{7k^2}{4}}$$ である。また $$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (3\vec{a}+\vec{b})=3+1+4(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=2$$ なので $$(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{x}=k$$ である。

これらを (1) の方程式に代入すると $${\displaystyle \frac{7k^2}{4}}-2k+{\displaystyle \frac{1}{4}}=0$$ であり、両辺を $4$ 倍して $7k^2-8k+1=0$ を得る。したがって $(7k-1)(k-1)=0$ であるから $k=1,k={\displaystyle \frac{1}{7}}$ である。

座標を置いて正六角形と内接円を同時に表す。中心・半径、点 $Q$ の座標を直接求め、直線 $AQ$ を $k$ 倍した点と円の交点条件から二つの $k$ を得る。

(1)
$A=(0,0)$、$B=(1,0)$、$F=(-1\mathrm{/}2,\sqrt{3}\mathrm{/}2)$ と置く。このとき$$\vec{a}=(1,0),\vec{b}=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$であり、正六角形の中心は$$O=A+\vec{a}+\vec{b}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$である。内接円の半径は $\sqrt{3}\mathrm{/}2$ だから、$$\vec{x}=\overrightarrow{AP}$$ に対して$${\mid \vec{x}-(\vec{a}+\vec{b})\mid }^2={\displaystyle \frac{3}{4}}$$である。$\mathrm{\mid }\vec{a}+\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=1$ を用いて展開すると$$\vec{x}\cdot \vec{x}-2(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{x}+{\displaystyle \frac{1}{4}}=0\mathrm{.}$$(2)
$C=(3\mathrm{/}2,\sqrt{3}\mathrm{/}2)$ なので、$Q$ は $BC$ の中点より$$Q=({\displaystyle \frac{5}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})\mathrm{.}$$一方、$${\displaystyle \frac{3\vec{a}+\vec{b}}{2}}=({\displaystyle \frac{5}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})$$であるから$$\overrightarrow{AQ}={\displaystyle \frac{3\vec{a}+\vec{b}}{2}}\mathrm{.}$$(3)$$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AQ}$$ である点の座標は$$({\displaystyle \frac{5k}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}k}{4}})$$である。これを内接円$${(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{(y-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}$$へ代入すると$${({\displaystyle \frac{5k}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+3{({\displaystyle \frac{k}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$整理して$$7k^2-8k+1=(7k-1)(k-1)=0$$となる。したがって$$k=1,k={\displaystyle \frac{1}{7}}\mathrm{.}$$