九州大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

点 $P$ が円を1周する間に、点 $Q$ は原点から半径1の円周まで一定の速さで進む。角 $\theta$ の時点では、全体の回転角 $2\pi$ のうち $\theta$ だけ進んでいるので $$OQ={\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}$$ である。

また、$Q$ は動径 $OP$ 上にあるから、極座標で $$r={\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}$$ と表される。したがって座標は$$Q(\theta )=({\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\cos \theta ,{\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\sin \theta )$$である。

(2) $$x={\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\cos \theta ,y={\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\sin \theta$$とおく。微分すると$${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}\cos \theta -{\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\sin \theta ,$$$${\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}={\displaystyle \frac{1}{2\pi }}\sin \theta +{\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\cos \theta \mathrm{.}$$ $\theta =\pi$ では $$Q(\pi )=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$$ であり、$${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}{\mid }_{\theta =\pi }=-{\displaystyle \frac{1}{2\pi }},{\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}{\mid }_{\theta =\pi }=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$したがって接線の傾きは $${\displaystyle \frac{dy}{dx}}={\displaystyle \frac{-1\mathrm{/}2}{-1\mathrm{/}(2\pi )}}=\pi$$ である。

よって接線は $$y=\pi (x+{\displaystyle \frac{1}{2}})$$ である。$y$ 軸との交点は $x=0$ として $$y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ だから $(0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$ である。

(3)

極座標で $r=\theta \mathrm{/}(2\pi )$ である。角度が ${\theta }_1$ から ${\theta }_2$ まで増える間に増える面積は、微小な扇形の面積を足し合わせて$$S({\theta }_2)-S({\theta }_1)={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}{\left({\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\right)}^{2}d\theta$$である。

ここで $$g(\theta )={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\right)}^2$$ とおくと、$0\leqq \theta \leqq 2\pi$ で $g(\theta )$ は増加関数である。$${\theta }_1<\theta <{\theta }_2$$ では $$g({\theta }_1)<g(\theta )<g({\theta }_2)$$ であるから、区間で積分して$$g({\theta }_1)({\theta }_2-{\theta }_1)<{\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}g(\theta )d\theta <g({\theta }_2)({\theta }_2-{\theta }_1)$$となる。${\theta }_2-{\theta }_1>0$ で割れば$${\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{{\theta }_1}{2\pi }}\right)}^2<{\displaystyle \frac{S({\theta }_2)-S({\theta }_1)}{{\theta }_2-{\theta }_1}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{{\theta }_2}{2\pi }}\right)}^2$$を得る。

(4)

(3) の不等式は、$S(\theta )$ の平均変化率が ${\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\right)}^2$ に近づくことを表している。したがって$${\displaystyle \frac{dS(\theta )}{d\theta }}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\right)}^2={\displaystyle \frac{{\theta }^2}{8{\pi }^2}}$$である。

また $S(0)=0$ なので$$S(\theta )={\int }_0^{\theta }{\displaystyle \frac{u^2}{8{\pi }^2}}du={\displaystyle \frac{1}{8{\pi }^2}}\cdot {\displaystyle \frac{{\theta }^3}{3}}={\displaystyle \frac{{\theta }^3}{24{\pi }^2}}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{dS(\theta )}{d\theta }}={\displaystyle \frac{{\theta }^2}{8{\pi }^2}},S(\theta )={\displaystyle \frac{{\theta }^3}{24{\pi }^2}}$$である。

媒介表示 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$、$r=\theta \mathrm{/}(2\pi )$ を直接微分する。面積増加率は行列式 $(x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }})\mathrm{/}2$ で求め、単調性から平均変化率の不等式を示す。

(1)
一定速度の条件から$$r={\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }},$$よって$$Q(\theta )=({\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\cos \theta ,{\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\sin \theta )\mathrm{.}$$(2)$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$ を微分し、$\theta =\pi$ を代入すると$$Q(\pi )=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0),{\displaystyle \frac{dy}{dx}}=\pi \mathrm{.}$$接線は $y=\pi (x+1\mathrm{/}2)$ だから、$y$ 軸との交点は$$(0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\mathrm{.}$$(3)
媒介曲線が掃く面積の増加率は$${\displaystyle \frac{1}{2}}(x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }})\mathrm{.}$$$r=\theta \mathrm{/}(2\pi )$、$r^{\mathrm{\prime }}=1\mathrm{/}(2\pi )$ を代入すると$$x{y}^{\mathrm{\prime }}-y{x}^{\mathrm{\prime }}=r^2,$$したがって$$S^{\mathrm{\prime }}(\theta )={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{\theta }{2\pi }}\right)}^2\mathrm{.}$$右辺は単調増加するので、その区間平均は両端値の間にあり、問題の不等式が従う。

(4) $${\displaystyle \frac{dS}{d\theta }}={\displaystyle \frac{{\theta }^2}{8{\pi }^2}}\mathrm{.}$$$S(0)=0$ より$$S(\theta )={\int }_0^{\theta }{\displaystyle \frac{u^2}{8{\pi }^2}}du={\displaystyle \frac{{\theta }^3}{24{\pi }^2}}\mathrm{.}$$