九州大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

底が $10$ で $10>1$ であるから、対数の大小は累乗の大小に直してよい。 $2^{10}=1024>1000={10}^3$ より $$10{\log }_{10}2>3,{\displaystyle \frac{3}{10}}<{\log }_{10}2.$$ また $2^{13}=8192<10000={10}^4$ より $$13{\log }_{10}2<4,{\log }_{10}2<{\displaystyle \frac{4}{13}}\mathrm{.}$$ したがって $${\displaystyle \frac{3}{10}}<{\log }_{10}2<{\displaystyle \frac{4}{13}}$$ である。

(2) $x={\log }_{10}2$ とおく。(1)より $10x-3>0$ であるから、不等式を掛けても不等号の向きは変わらない。

まず $9<a$ は $$9<{\displaystyle \frac{1-3x}{10x-3}}$$ と同じであり、これは $90x-27<1-3x$ すなわち $93x<28$ と同値である。さらにこれは $${\log }_{10}{2}^{93}<28,2^{93}<{10}^{28}$$ と同値である。

同じく $a<10$ は $${\displaystyle \frac{1-3x}{10x-3}}<10$$ と同じであり、これは $1-3x<100x-30$ すなわち $31<103x$ と同値である。さらにこれは ${10}^{31}<2^{103}$ と同値である。

問題の表から $$2^{93}<{10}^{28},{10}^{31}<2^{103}$$ が読み取れるので、以上より $9<a<10$ である。したがって、$b<a<b+1$ を満たす整数は $b=9$ である。

(3)

(2) で得た $$9<{\displaystyle \frac{1-3x}{10x-3}}<10$$ を $x$ の不等式に戻す。ただし $10x-3>0$ である。

左側の不等式から $9(10x-3)<1-3x$ であるから $$90x-27<1-3x,93x<28,x<{\displaystyle \frac{28}{93}}\mathrm{.}$$ 右側の不等式から $1-3x<10(10x-3)$ であるから $$1-3x<100x-30,31<103x,{\displaystyle \frac{31}{103}}<x\mathrm{.}$$ よって $${\displaystyle \frac{31}{103}}<{\log }_{10}2<{\displaystyle \frac{28}{93}}$$ が示された。

参照表が欠落しているため、必要な累乗比較を繰り返し2乗法による整数計算で独立に作る。対数不等式を累乗比較へ直し、分数線形変換 $a=(1-3x)\mathrm{/}(10x-3)$ の分母の符号を確認して $9<a<10$ と最終評価を導く。

$x={\log }_{10}2$ とおく。

(1) $$2^{10}=1024>{10}^3,2^{13}=8192<{10}^4$$より、底10の対数をとって$${\displaystyle \frac{3}{10}}<x<{\displaystyle \frac{4}{13}}\mathrm{.}$$特に $10x-3>0$ である。

(2)
現存原資料には問題文が参照する表が含まれないため、必要な二つの比較を整数計算で再確認する。繰り返し2乗法で$$2^{93}=9903520314283042199192993792<{10}^{28},$$$$2^{103}=10141204801825835211973625643008>{10}^{31}\mathrm{.}$$したがって$$93x<28,103x>31.$$$a=(1-3x)\mathrm{/}(10x-3)$ について、分母が正であることに注意すると$$9<a⟺93x<28,a<10⟺31<103x\mathrm{.}$$よって $9<a<10$ であり、$b=9$ である。

(3)
上の二不等式を $x$ について書けば$${\displaystyle \frac{31}{103}}<x<{\displaystyle \frac{28}{93}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{31}{103}}<{\log }_{10}2<{\displaystyle \frac{28}{93}}\mathrm{.}$$