九州大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$h(x)=x{e}^x-m{e}^x+m=(x-m)e^x+m$$ とおく。すると $$h^{\mathrm{\prime }}(x)=e^x+(x-m)e^x=(x+1-m)e^x$$ である。$e^x>0$ だから，$h(x)$ は $0<x<m-1$ で減少し，$x>m-1$ で増加する。

また $h(0)=0$ であり，$0<x<m-1$ では $h$ が減少するので $$h(x)<0(0<x\leqq m-1)$$ である。さらに $h(m)=(m-m)e^m+m=m>0.$ したがって中間値の定理より，$(m-1,m)$ に正の解が少なくとも一つ存在する。一方，$x>m-1$ では $h(x)$ は増加するので，この区間に解は高々一つである。よって正の解はただ一つである。その解を $c$ とすると $m-1<c<m$ である。

(2) $$f(x)={\displaystyle \frac{e^x-1}{x^m}}(x>0)$$ とする。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^x{x}^m-(e^x-1)m{x}^{m-1}}{x^{2m}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x{e}^x-m(e^x-1)}{x^{m+1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x{e}^x-m{e}^x+m}{x^{m+1}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{h(x)}{x^{m+1}}}\mathrm{.}}\end{array}$$ $x>0$ では分母 $x^{m+1}$ は正であるから，$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $h(x)$ の符号と同じである。(1) より $h(x)<0$ は $0<x<c$，$h(x)>0$ は $x>c$ で成り立つ。したがって $f(x)$ は $(0,c)$ で減少し，$(c,\mathrm{\infty })$ で増加する。

よって $f(x)$ は $x=c$ で最小となる。

(3)

最小値を $a_m=f(c)$ とする。$c$ は $c{e}^c-m{e}^c+m=0$ を満たすので $m(e^c-1)=c{e}^c\mathrm{.}$ したがって $$e^c-1={\displaystyle \frac{c{e}^c}{m}}$$ であり，$$a_m={\displaystyle \frac{e^c-1}{c^m}}={\displaystyle \frac{e^c}{m{c}^{m-1}}}\mathrm{.}$$ 対数をとると $$\log a_m=c-\log m-(m-1)\log c\mathrm{.}$$ よって$${\displaystyle \frac{\log a_m}{m\log m}}={\displaystyle \frac{c}{m\log m}}-{\displaystyle \frac{1}{m}}-{\displaystyle \frac{m-1}{m}}\cdot {\displaystyle \frac{\log c}{\log m}}\mathrm{.}$$(1) より $$1-{\displaystyle \frac{1}{m}}<{\displaystyle \frac{c}{m}}<1$$ であるから $c\mathrm{/}m\to 1$，したがって $\log c\mathrm{/}\log m\to 1$ である。また $c\mathrm{/}(m\log m)\to 0$ である。ゆえに$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\log a_m}{m\log m}}=-1$$である。

最小値問題から逆に出発し、対数微分の符号を調べる。臨界点の方程式を $x=m(1-e^{-x})$ と書くと、直線と上に凸でない曲線の交点として一意性と位置を確認できる。最後は臨界点方程式を最小値に代入して対数の主要項を取り出す。

(1)
方程式は$$x=m(1-e^{-x})$$と同値である。右辺を $r(x)$ とすると$$r^{\mathrm{\prime }}(x)=m{e}^{-x}>0,r^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-m{e}^{-x}<0.$$$r(0)=0$ で、正の範囲では直線 $y=x$ と凹曲線 $y=r(x)$ は高々もう1回しか交わらない。また$$h(m-1)<0,h(m)>0$$より、その正の交点 $c$ はただ1つで$$m-1<c<m\mathrm{.}$$(2)$${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}}={\displaystyle \frac{e^x}{e^x-1}}-{\displaystyle \frac{m}{x}}={\displaystyle \frac{x{e}^x-m(e^x-1)}{x(e^x-1)}}\mathrm{.}$$分母は正で、分子は (1) の $h(x)$ だから、$c$ の前で負、後で正となる。従って $x=c$ で最小。

(3)
$m(e^c-1)=c{e}^c$ より$$a_m={\displaystyle \frac{e^c}{m{c}^{m-1}}},\log a_m=c-\log m-(m-1)\log c\mathrm{.}$$$m-1<c<m$ から $c\mathrm{/}m\to 1$, $\log c\mathrm{/}\log m\to 1$。従って$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{\log a_m}{m\log m}}=-1.$$