九州大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $$y={\displaystyle \frac{\log x}{x}}$$ とおくと $$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1-\log x}{x^2}}$$ である。原点を通る接線の接点を $x=t$ とすると、接線の傾きは $y(t)\mathrm{/}t$ に等しいので $${\displaystyle \frac{\log t}{t^2}}={\displaystyle \frac{1-\log t}{t^2}}$$ である。したがって $\log t=\frac{1}{2}$ より $$t=\sqrt{e}$$ である。接線 $l_2$ は $$y={\displaystyle \frac{x}{2e}}$$ である。

曲線 $l_1$ は $x=1$ で $x$ 軸と交わる。よって、$l_1$、$l_2$、$x$ 軸で囲まれる全体の面積は$${\int }_0^1{\displaystyle \frac{x}{2e}}dx+{\int }_1^{\sqrt{e}}({\displaystyle \frac{x}{2e}}-{\displaystyle \frac{\log x}{x}})dx$$である。これを計算すると $${\int }_0^1{\displaystyle \frac{x}{2e}}dx={\displaystyle \frac{1}{4e}}$$ であり、$${\int }_1^{\sqrt{e}}{\displaystyle \frac{x}{2e}}dx={\displaystyle \frac{e-1}{4e}},{\int }_1^{\sqrt{e}}{\displaystyle \frac{\log x}{x}}dx={\left[{\displaystyle \frac{(\log x{)}^2}{2}}\right]}_1^{\sqrt{e}}=\frac{1}{8}$$である。したがって全体の面積は $${\displaystyle \frac{1}{4e}}+{\displaystyle \frac{e-1}{4e}}-\frac{1}{8}=\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$$ である。

次に、点 $A=(1,0)$ を通る分割直線が $l_2$ と交わる点を $$Q_0=(r,{\displaystyle \frac{r}{2e}})$$ とおく。接点側の領域は、曲線側の部分$${\int }_1^{\sqrt{e}}({\displaystyle \frac{x}{2e}}-{\displaystyle \frac{\log x}{x}})dx={\displaystyle \frac{e-2}{8e}}$$と、$Q_0$ から $A$ までの直線と $l_2$ に挟まれる部分からなる。

直線 $A{Q}_0$ の方程式は $$y={\displaystyle \frac{r}{2e(r-1)}}(x-1)$$ である。したがって、$Q_0$ から $A$ までの部分の面積は$${\int }_r^1\{{\displaystyle \frac{x}{2e}}-{\displaystyle \frac{r}{2e(r-1)}}(x-1)\}dx={\displaystyle \frac{1-r}{4e}}$$である。

接点側の面積は全体の半分、すなわち $1\mathrm{/}16$ であるから $${\displaystyle \frac{e-2}{8e}}+{\displaystyle \frac{1-r}{4e}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$$ である。これを解くと $$r={\displaystyle \frac{e}{4}}$$ である。したがって $S$ の面積は ${\displaystyle \frac{1}{16}}$ である。

(2)

(1) より、分割直線と $l_2$ の交点は $$Q_0=({\displaystyle \frac{e}{4}},\frac{1}{8})$$ である。また $A=(1,0)$ とする。 $p,q$ はさいころの目なので正である。領域 $S$ 上で $px+qy$ の最小値を考える。曲線 $l_1$ 上では $x\geqq 1$、$y\geqq 0$ なので $px+qy\geqq p$ であり、点 $A$ で $p$ になる。接線 $l_2$ 上の $Q_0$ から接点までの部分では、$x$ も $y$ も増加するので最小は $Q_0$ である。直線 $A{Q}_0$ 上では一次式の最小は端点で起こる。したがって $$\underset{S}{\min }(px+qy)=\min (p,{\displaystyle \frac{pe}{4}}+{\displaystyle \frac{q}{8}})$$ である。

これが $9\mathrm{/}5$ 以下になる場合を数える。$p=1$ のときは $$\underset{S}{\min }(px+qy)\leqq p=1\leqq \frac{9}{5}$$ なので、$q=1,2,\dots ,6$ の6通りすべてがよい。 $p\geqq 2$ のときは $p>9\mathrm{/}5$ なので、点 $Q_0$ での値を調べればよい。$p=2$ では $${\displaystyle \frac{pe}{4}}+{\displaystyle \frac{q}{8}}={\displaystyle \frac{e}{2}}+{\displaystyle \frac{q}{8}}$$ である。$2.7<e<2.8$ を用いると、$q=1,2,3$ では $9\mathrm{/}5$ 以下で、$q\geqq 4$ では $9\mathrm{/}5$ より大きい。したがって $p=2$ では3通りである。 $p\geqq 3$ では、最小の $q=1$ としても $${\displaystyle \frac{pe}{4}}+{\displaystyle \frac{q}{8}}\geqq {\displaystyle \frac{3e}{4}}+\frac{1}{8}>\frac{9}{5}$$ であるから不適である。

以上より有利な出目は $6+3=9$ 通りである。全事象は36通りなので、求める確率は $${\displaystyle \frac{9}{36}}=\frac{1}{4}$$ である。

面積を二等分する直線と領域 $S$

囲まれた全領域を接線下の三角形から曲線下の面積を引いて求める。二等分線でできる三角形の面積から交点を定め、線形関数の最小値は領域の下側境界の2端点だけを比較する。

(1)

$h(x)=\log x\mathrm{/}x$ とすると$$h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1-\log x}{x^2}}\mathrm{.}$$接点の $x$ 座標を $t$ とすれば、原点を通る条件は $h^{\mathrm{\prime }}(t)=h(t)\mathrm{/}t$ である。よって$$1-\log t=\log t,t=\sqrt{e}\mathrm{.}$$接線は$$l_2:y={\displaystyle \frac{x}{2e}}\mathrm{.}$$接線下の三角形 $$0\leqq x\leqq \sqrt{e}$$ の面積は $1\mathrm{/}4$、曲線下の $$1\leqq x\leqq \sqrt{e}$$ の面積は $1\mathrm{/}8$ である。したがって全領域は $1\mathrm{/}8$、その半分である $S$ の面積は$${\displaystyle \frac{1}{16}}\mathrm{.}$$分割直線と $l_2$ の交点を $Q_0=(r,r\mathrm{/}(2e))$ とする。接点側に常に含まれる曲線と接線の間の面積は$${\displaystyle \frac{e-2}{8e}}\mathrm{.}$$三角形 $A{Q}_0$ と接線の間の面積は、底辺 $1-r$、高さ $r\mathrm{/}(2e)$ から$${\displaystyle \frac{1-r}{4e}}\mathrm{.}$$両者の和を $1\mathrm{/}16$ とおくと $r=e\mathrm{/}4$ である。したがって$$Q_0=({\displaystyle \frac{e}{4}},{\displaystyle \frac{1}{8}})\mathrm{.}$$(2)

$p,q>0$ なので、$px+qy$ は $x,y$ がともに増える方向へ増加する。領域 $S$ の下側境界は線分 $A{Q}_0$ であり、線形関数の最小値はその端点で生じる。よって$$\underset{S}{\min }(px+qy)=\min \{p,{\displaystyle \frac{pe}{4}}+{\displaystyle \frac{q}{8}}\}\mathrm{.}$$$p=1$ なら $q=1,\dots ,6$ の6通りすべてがよい。$p=2$ では$${\displaystyle \frac{e}{2}}+{\displaystyle \frac{q}{8}}\leqq {\displaystyle \frac{9}{5}}$$を満たす $q$ は $1,2,3$ の3通りである。$p\geqq 3$ では $q=1$ でも左辺が $9\mathrm{/}5$ を超える。したがって有利な出目は9通りで、$${\displaystyle \frac{9}{36}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$である。