九州大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
曲線 $y=\log x$ の $x=k$ における傾きは $1\mathrm{/}k$ である。したがって点 $(k,\log k)$ における接線は $$y=\log k+{\displaystyle \frac{x-k}{k}}$$ である。 $k\geqq 2$ なので、この接線は区間 $k-1\mathrm{/}2\leqq x\leqq k+1\mathrm{/}2$ で正である。よって求める面積は ${\int }_{k-1\mathrm{/}2}^{k+1\mathrm{/}2}(\log k+{\displaystyle \frac{x-k}{k}})dx$ である。ここで $x-k$ は区間の中心 $k$ に関して奇関数的に打ち消し合うので $${\int }_{k-1\mathrm{/}2}^{k+1\mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{x-k}{k}}dx=0$$ である。したがって面積は $\log k$ である。

(2) $g(x)=\log x$ とおくと $g^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}<0$ である。したがって接線はグラフの上側にあり、$k\geqq 2$ について $$\log k\geqq {\int }_{k-1\mathrm{/}2}^{k+1\mathrm{/}2}\log xdx$$ が成り立つ。

これを $k=2,3,\dots ,n-1$ について加えると、左辺は $$\sum _{k=2}^{n-1}\log k=\log [(n-1)!]$$ であり、右辺の区間は連続して ${\int }_{3\mathrm{/}2}^{n-1\mathrm{/}2}\log xdx$ となる。よって $$\log [(n-1)!]\geqq {\int }_{3\mathrm{/}2}^{n-1\mathrm{/}2}\log xdx$$ である。

ここで $$\int \log xdx=x\log x-x$$ より$${\int }_{3\mathrm{/}2}^{n-1\mathrm{/}2}\log xdx=(n-{\displaystyle \frac{1}{2}})\log (n-{\displaystyle \frac{1}{2}})-{\displaystyle \frac{3}{2}}\log {\displaystyle \frac{3}{2}}-(n-2)$$である。したがって$$\log [(n-1)!]\geqq (n-{\displaystyle \frac{1}{2}})\log (n-{\displaystyle \frac{1}{2}})-{\displaystyle \frac{3}{2}}\log {\displaystyle \frac{3}{2}}-(n-2)$$が示された。

(3)
(2) より $$a_n=\log [(n-1)!]+{\displaystyle \frac{1}{2}}\log n$$ は$$a_n\geqq (n-{\displaystyle \frac{1}{2}})\log (n-{\displaystyle \frac{1}{2}})+{\displaystyle \frac{1}{2}}\log n-{\displaystyle \frac{3}{2}}\log {\displaystyle \frac{3}{2}}-(n-2)$$を満たす。

ここで$$(n-{\displaystyle \frac{1}{2}})\log (n-{\displaystyle \frac{1}{2}})+{\displaystyle \frac{1}{2}}\log n=n\log n+(n-{\displaystyle \frac{1}{2}})\log (1-{\displaystyle \frac{1}{2n}})$$である。

次に $0<u<1$ で $$\log (1-u)>-{\displaystyle \frac{u}{1-u}}$$ を示す。実際、$$\varphi (u)=\log (1-u)+{\displaystyle \frac{u}{1-u}}$$ とおくと、$\varphi (0)=0$ で $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)=-{\displaystyle \frac{1}{1-u}}+{\displaystyle \frac{1}{(1-u{)}^2}}={\displaystyle \frac{u}{(1-u{)}^2}}>0$$ であるから、$u>0$ で $\varphi (u)>0$ である。 $u=1\mathrm{/}(2n)$ とすると$$(n-{\displaystyle \frac{1}{2}})\log (1-{\displaystyle \frac{1}{2n}})>(n-{\displaystyle \frac{1}{2}})(-{\displaystyle \frac{1\mathrm{/}(2n)}{1-1\mathrm{/}(2n)}})=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。よって$$(n-{\displaystyle \frac{1}{2}})\log (n-{\displaystyle \frac{1}{2}})+{\displaystyle \frac{1}{2}}\log n>n\log n-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$となる。

これを $a_n$ の下界へ代入すると $$a_n>n\log n-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}\log {\displaystyle \frac{3}{2}}-(n-2)$$ である。整理して $$a_n>n\log n-n+{\displaystyle \frac{3}{2}}(1-\log {\displaystyle \frac{3}{2}})$$ が示された。

(2) の接線評価を、左右対称な区間での積分差として直接示す。差を $u=x-k$ で対称化すると正の対数積分になり、接線の上下関係を図だけに頼らず確認できる。(3) の対数不等式は定積分の大小で証明する。

(1)
接線は$$y=\log k+{\displaystyle \frac{x-k}{k}}\mathrm{.}$$幅 $1$ の対称区間で $x-k$ の積分は $0$ だから、面積は$$\log k\mathrm{.}$$(2)
$u=x-k$ と置くと$$\log k-{\int }_{k-1\mathrm{/}2}^{k+1\mathrm{/}2}\log xdx={\int }_0^{1\mathrm{/}2}\{2\log k-\log (k-u)-\log (k+u)\}du\mathrm{.}$$被積分関数は$$\log {\displaystyle \frac{k^2}{k^2-u^2}}>0(0<u\leqq 1\mathrm{/}2)$$だから$$\log k>{\int }_{k-1\mathrm{/}2}^{k+1\mathrm{/}2}\log xdx\mathrm{.}$$$k=2,\dots ,n-1$ について加えると$$\log [(n-1)!]\geqq {\int }_{3\mathrm{/}2}^{n-1\mathrm{/}2}\log xdx\mathrm{.}$$右辺を積分して$$\log [(n-1)!]\geqq (n-{\displaystyle \frac{1}{2}})\log (n-{\displaystyle \frac{1}{2}})-{\displaystyle \frac{3}{2}}\log {\displaystyle \frac{3}{2}}-(n-2)\mathrm{.}$$(3)
$0<u<1$ のとき$$-\log (1-u)={\int }_0^u{\displaystyle \frac{dt}{1-t}}<{\int }_0^u{\displaystyle \frac{dt}{1-u}}={\displaystyle \frac{u}{1-u}}\mathrm{.}$$したがって$$\log (1-u)>-{\displaystyle \frac{u}{1-u}}\mathrm{.}$$$u=1\mathrm{/}(2n)$ と置けば$$(n-{\displaystyle \frac{1}{2}})\log (1-{\displaystyle \frac{1}{2n}})>-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2) の下界へ代入し、$$\log (n-1\mathrm{/}2)=\log n+\log (1-1\mathrm{/}(2n))$$ を用いると$$a_n>n\log n-n+{\displaystyle \frac{3}{2}}(1-\log {\displaystyle \frac{3}{2}})\mathrm{.}$$