九州大学 1998年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $f(x)=e^x-e^{-x}$ である。原始関数は$$\int (e^x-e^{-x})dx=e^x+e^{-x}$$であるから $${\int }_{-1}^2(e^x-e^{-x})dx={[e^x+e^{-x}]}_{-1}^2$$ $$=e^2+e^{-2}-(e^{-1}+e)=e^2+e^{-2}-e-e^{-1}$$ である。

(2) $$d_j=1+{\displaystyle \frac{j-1}{m}}$$ であるから、$d_j$ は区間 $[1,2]$ を $m$ 等分したときの左端の点である。また係数 $1\mathrm{/}m$ は小区間の幅である。したがって $$G_m=\frac{1}{m}\sum _{j=1}^{m}f(d_j)$$ は、区間 $[1,2]$ における $f(x)$ の左端和である。よって $$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{G}_m={\int }_1^2(e^x-e^{-x})dx$$ である。これを計算すると$${\int }_1^2(e^x-e^{-x})dx={[e^x+e^{-x}]}_1^2=e^2+e^{-2}-e-e^{-1}$$である。

$G_m$ を2つの有限等比数列へ分けて厳密に和を取り、$m(e^{1\mathrm{/}m}-1)\to 1$ と $m(1-e^{-1\mathrm{/}m})\to 1$ を使って極限を計算する。

(1)

原始関数は $e^x+e^{-x}$ であるから$${\int }_{-1}^2(e^x-e^{-x})dx=e^2+e^{-2}-e^{-1}-e\mathrm{.}$$(2)

$j-1=r$ と書くと$$G_m={\displaystyle \frac{e}{m}}\sum _{r=0}^{m-1}{e}^{r\mathrm{/}m}-{\displaystyle \frac{e^{-1}}{m}}\sum _{r=0}^{m-1}{e}^{-r\mathrm{/}m}\mathrm{.}$$等比数列の和より$$G_m={\displaystyle \frac{e(e-1)}{m(e^{1\mathrm{/}m}-1)}}-{\displaystyle \frac{e^{-1}(1-e^{-1})}{m(1-e^{-1\mathrm{/}m})}}\mathrm{.}$$$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }m(e^{1\mathrm{/}m}-1)=1,\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }m(1-e^{-1\mathrm{/}m})=1$$なので$$\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }{G}_m=e(e-1)-e^{-1}(1-e^{-1})$$$$=e^2+e^{-2}-e-e^{-1}\mathrm{.}$$(1)の定積分と一致する。