九州大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1)

線分 $AB$ は $y=1-x$ である。放物線 $y=k{x}^2$ との交点の $x$ 座標を $\alpha$ とすると $k{\alpha }^2=1-\alpha$ である。$k>0$ で、交点は三角形の内部の辺上にあるので $$0<\alpha <1,k={\displaystyle \frac{1-\alpha }{{\alpha }^2}}$$ である。 $0\leqq x\leqq \alpha$ では放物線が線分 $AB$ より下にあり、$\alpha \leqq x\leqq 1$ では線分 $AB$ が放物線より下にある。したがって、放物線の下にある部分 $S$ の面積は $$S={\int }_0^{\alpha }k{x}^{2}dx+{\int }_{\alpha }^1(1-x)dx$$ である。ここに $k=(1-\alpha )\mathrm{/}{\alpha }^2$ を代入すると$${\int }_0^{\alpha }k{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{k{\alpha }^3}{3}}={\displaystyle \frac{\alpha (1-\alpha )}{3}}$$であり、また$${\int }_{\alpha }^1(1-x)dx={[x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}]}_{\alpha }^1={\displaystyle \frac{1}{2}}-\alpha +{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{2}}$$である。よって$$S={\displaystyle \frac{\alpha (1-\alpha )}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-\alpha +{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{2}}={\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{6}}-{\displaystyle \frac{2\alpha }{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2) $\mathrm{△}OAB$ の面積は $1\mathrm{/}2$ である。$S$ と $T$ の面積が等しい条件は $S={\displaystyle \frac{1}{4}}$ であるから、(1)の結果より $${\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{6}}-{\displaystyle \frac{2\alpha }{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$ 両辺に12を掛けると $2{\alpha }^2-8\alpha +3=0$ である。解の公式より $$\alpha =2\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$$ であるが、$0<\alpha <1$ なので $$\alpha =2-{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}$$ を選ぶ。

したがって$$k={\displaystyle \frac{1-\alpha }{{\alpha }^2}}={\displaystyle \frac{1-(2-{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}})}{{(2-{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}})}^2}}$$である。分母分子を整理すると$$1-\alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{10}-2}{2}},{\alpha }^2={\displaystyle \frac{13-4\sqrt{10}}{2}}$$より$$k={\displaystyle \frac{\sqrt{10}-2}{13-4\sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{(\sqrt{10}-2)(13+4\sqrt{10})}{9}}={\displaystyle \frac{14+5\sqrt{10}}{9}}\mathrm{.}$$よって求める値は ${\displaystyle \frac{14+5\sqrt{10}}{9}}$ である。

全三角形から $S$ を除いた領域 $T$ を先に求める。交点条件で $k$ を $\alpha$ に直し、直線と放物線の差の積分を整理する。$S=T=1\mathrm{/}4$ から $\alpha$、続いて $k$ を決定する。

交点 $(\alpha ,1-\alpha )$ は放物線上にもあるから$$k{\alpha }^2=1-\alpha ,k={\displaystyle \frac{1-\alpha }{{\alpha }^2}}\mathrm{.}$$(1)
三角形から $S$ を除いた部分を $T$ とする。$T$ は $0\leqq x\leqq \alpha$ における直線と放物線の間なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle ={\int }_0^{\alpha }(1-x-k{x}^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\alpha -{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{2}}-{\displaystyle \frac{k{\alpha }^3}{3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\alpha }{3}}-{\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$全三角形の面積は $1\mathrm{/}2$ だから$$S={\displaystyle \frac{1}{2}}-T={\displaystyle \frac{{\alpha }^2}{6}}-{\displaystyle \frac{2\alpha }{3}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)
$S=T$ のとき $S=1\mathrm{/}4$ である。よって$$2{\alpha }^2-8\alpha +3=0.$$$0<\alpha <1$ より$$\alpha =2-{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{2}}\mathrm{.}$$これを $k=(1-\alpha )\mathrm{/}{\alpha }^2$ へ代入して$$k={\displaystyle \frac{14+5\sqrt{10}}{9}}\mathrm{.}$$