九州大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
4 が書かれたカードが取り出されるためには、4 を含むグループの中で 4 が最小であればよい。4 と同じグループに入る残り二枚は、4 以外の 8 枚から選ばれる。その二枚がどちらも 5 以上であれば、4 がそのグループの最小になる。

5 以上のカードは 5,6,7,8,9 の 5 枚であるから、求める確率は$${\displaystyle \frac{{}_5{\mathrm{C}}_2}{{}_8{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{10}{28}}={\displaystyle \frac{5}{14}}$$である。

(2)
まず、9 枚を 3 枚ずつの 3 つのグループに分ける総数を数える。グループの順序を区別しないので $${\displaystyle \frac{9!}{(3!{)}^{3}3!}}=280$$ 通りである。

取り出された三枚の最大が 4 であるためには、まず 4 が取り出されなければならない。したがって 4 と同じグループの残り二枚は、5 以上の 5 枚から選ぶ必要があり、その選び方は ${}_5{\mathrm{C}}_2=10$ 通りである。

このあと残る 6 枚は、1,2,3 の三枚と、5 以上の三枚である。これらを 3 枚ずつの 2 グループに分ける方法は $${\displaystyle \frac{{}_6{\mathrm{C}}_3}{2}}=10$$ 通りである。このうち、1,2,3 が同じグループに入る場合だけは、もう一方のグループがすべて 5 以上になり、そのグループから取り出される最小値が 4 より大きくなる。これは不適である。

したがって残り二グループの分け方は $10-1=9$ 通りである。よって有利な分け方は $10\cdot 9=90$ 通りで、求める確率は $${\displaystyle \frac{90}{280}}={\displaystyle \frac{9}{28}}$$ である。

三つのグループに仮の名前を付け、順序付きの分割として数える。全事象と有利事象の双方で同じラベル付けを使うことで、順序を区別するかどうかによる割り忘れを防ぐ。

(1)
4 と同じグループに入る二枚は、残り8枚から一様に選ばれる。4がそのグループの最小となるには二枚とも $5,6,7,8,9$ から選ばれればよい。よって$${\displaystyle \frac{{}_5{\mathrm{C}}_2}{{}_8{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{5}{14}}\mathrm{.}$$(2)
三つのグループを $G_1,G_2,G_3$ と区別する。全分割数は$${}_9{\mathrm{C}}_3{}_6{\mathrm{C}}_3=84\cdot 20=1680.$$4を含むグループの選択は $3$ 通り、その同伴二枚を5以上から選ぶ方法は ${}_5{\mathrm{C}}_2=10$ 通りである。

残り6枚は $1,2,3$ と5以上の三枚である。残る二つの名前付きグループの一方を選ぶ方法は ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通り。このうち、一方が $1,2,3$ の全部、または5以上の三枚全部となる2通りでは、取り出された残り二枚の一方が4より大きくなる。したがって適する分け方は $20-2=18$ 通りである。

よって有利な分割は$$3\cdot 10\cdot 18=540$$通りであり、$${\displaystyle \frac{540}{1680}}={\displaystyle \frac{9}{28}}\mathrm{.}$$