九州大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

（ア）

積和公式より $$\sin mx\sin nx={\displaystyle \frac{1}{2}}\{\cos (m-n)x-\cos (m+n)x\}$$ である。 $m\mathrm{\ne }n$ のとき、$m-n$ と $m+n$ はともに正の整数または負でない整数で、$m-n\mathrm{\ne }0$ であるから $${\int }_0^{\pi }\cos (m-n)xdx=0,{\int }_0^{\pi }\cos (m+n)xdx=0$$ となる。したがって $${\int }_0^{\pi }\sin mx\sin nxdx=0$$ である。 $m=n$ のときは $${\sin }^{2}mx={\displaystyle \frac{1-\cos 2mx}{2}}$$ より$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}mxdx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi }1dx-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi }\cos 2mxdx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$よって$${\int }_0^{\pi }\sin mx\sin nxdx=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\pi }{2}},& m=n,\\ 0,& m\mathrm{\ne }n\end{array}$$である。

（イ）

部分積分により$${\int }_0^{\pi }x\sin mxdx={[-{\displaystyle \frac{x\cos mx}{m}}]}_0^{\pi }+{\displaystyle \frac{1}{m}}{\int }_0^{\pi }\cos mxdx\mathrm{.}$$第2項は $${\displaystyle \frac{1}{m}}{\left[{\displaystyle \frac{\sin mx}{m}}\right]}_0^{\pi }=0$$ である。したがって$${\int }_0^{\pi }x\sin mxdx=-{\displaystyle \frac{\pi \cos m\pi }{m}}={\displaystyle \frac{(-1{)}^{m+1}\pi }{m}}\mathrm{.}$$(2) $$I={\int }_0^{\pi }(a\sin x+b\sin 2x+c\sin 3x-x{)}^{2}dx$$ を展開する。(1)より異なる $\sin mx$ 同士の積分は0であり、また $${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}mxdx={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。さらに$${\int }_0^{\pi }x\sin xdx=\pi ,{\int }_0^{\pi }x\sin 2xdx=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\int }_0^{\pi }x\sin 3xdx={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$である。

したがって$$I={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(a^2+b^2+c^2)-2(a\pi +b(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})+c{\displaystyle \frac{\pi }{3}})+{\int }_0^{\pi }{x}^{2}dx\mathrm{.}$$また $${\int }_0^{\pi }{x}^{2}dx={\displaystyle \frac{{\pi }^3}{3}}$$ であるから$$I={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{a}^2-2\pi a+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}{b}^2+\pi b+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}{c}^2-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}c+{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{3}}\mathrm{.}$$これを平方完成すると $${\displaystyle \frac{\pi }{2}}{a}^2-2\pi a={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(a-2{)}^2-2\pi ,$$ $${\displaystyle \frac{\pi }{2}}{b}^2+\pi b={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(b+1{)}^2-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},$$ $${\displaystyle \frac{\pi }{2}}{c}^2-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}c={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{(c-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2-{\displaystyle \frac{2\pi }{9}}\mathrm{.}$$よって$$I={\displaystyle \frac{\pi }{2}}(a-2{)}^2+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}(b+1{)}^2+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}{(c-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2+{\displaystyle \frac{{\pi }^3}{3}}-2\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{2\pi }{9}}\mathrm{.}$$したがって $I$ を最小にするのは $$a=2,b=-1,c={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ のときである。

最小値は$${\displaystyle \frac{{\pi }^3}{3}}-2\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{2\pi }{9}}={\displaystyle \frac{{\pi }^3}{3}}-{\displaystyle \frac{49\pi }{18}}={\displaystyle \frac{\pi (6{\pi }^2-49)}{18}}$$である。

関数の内積 $$⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }fgdx$$ を用いる。三つの正弦関数が互いに直交することを確認し、最小条件を残差が各正弦関数に直交する条件として求める。最小値は平方ノルムから射影成分を引く。

(1)
内積を$$⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }f(x)g(x)dx$$と定める。積和公式から$$⟨\sin mx,\sin nx⟩=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\pi }{2}},& m=n,\\ 0,& m\mathrm{\ne }n\end{array}$$である。また、部分積分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle ⟨x,\sin mx⟩}& {\displaystyle ={[-{\displaystyle \frac{x\cos mx}{m}}]}_0^{\pi }+{\displaystyle \frac{1}{m}}{\int }_0^{\pi }\cos mxdx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(-1{)}^{m+1}\pi }{m}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)$$R(x)=x-a\sin x-b\sin 2x-c\sin 3x$$とおけば $I=⟨R,R⟩$ である。$I$ が最小になるとき、残差 $R$ は三つの基底関数に直交する。したがって$$⟨R,\sin x⟩=⟨R,\sin 2x⟩=⟨R,\sin 3x⟩=0.$$(1)の直交関係を使うと$${\displaystyle \frac{\pi }{2}}a=\pi ,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}b=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}c={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}$$よって$$a=2,b=-1,c={\displaystyle \frac{2}{3}}\mathrm{.}$$最小値は、$x$ の平方ノルムから三つの直交射影の平方ノルムを引けばよい。$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_{\min }}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi }{x}^{2}dx-{\displaystyle \frac{{\pi }^2}{\pi \mathrm{/}2}}-{\displaystyle \frac{(-\pi \mathrm{/}2{)}^2}{\pi \mathrm{/}2}}-{\displaystyle \frac{(\pi \mathrm{/}3{)}^2}{\pi \mathrm{/}2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{{\pi }^3}{3}}-2\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{2\pi }{9}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi (6{\pi }^2-49)}{18}}\mathrm{.}}\end{array}$$