九州大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)

直線 $y=\alpha x$ がそれ自身に移るとは、方向ベクトル $(1,\alpha )$ が、移った後も $(1,\alpha )$ と平行であることを意味する。

行列 $A$ によって$$\left(\begin{array}{c}1\\ \alpha \end{array}\right)$$は$$\left(\begin{array}{c}a+b\alpha \\ b+c\alpha \end{array}\right)$$に移る。これが $(1,\alpha )$ と平行であるから $$b+c\alpha =\alpha (a+b\alpha )$$ である。整理すると $$b{\alpha }^2+(a-c)\alpha -b=0$$ となる。

同様に $\beta$ もこの二次方程式を満たす。$b\mathrm{\ne }0$ であり、$\alpha \mathrm{\ne }\beta$ だから、$\alpha ,\beta$ はこの二次方程式の2つの異なる解である。よって解と係数の関係より $$\alpha \beta ={\displaystyle \frac{-b}{b}}=-1$$ である。傾きの積が $-1$ であるから、2直線 $y=\alpha x$、$y=\beta x$ は直交する。

(2)

まず $l=1$ のときは $$(l^m{)}^n=1,l^{m^n}=1$$ となり、不等式は成り立たない。

以下 $l>1$ とする。このとき底 $l$ が同じなので、指数を比較すればよい。 $$(l^m{)}^n=l^{mn},l^{m^n}=l^{m^n}$$ であるから、条件は $mn>m^n$ と同値である。$m$ は正の整数なので、これは $n>m^{n-1}$ と同値である。 $m=1$ のとき、この条件は $n>1$ である。したがって $n\geqq 2$ で成り立つ。 $m\geqq 2$ のとき、$n=1$ では $mn=m^n$ で不適である。また $n\geqq 2$ なら $$m^{n-1}\geqq 2^{n-1}\geqq n$$ であるから、$n>m^{n-1}$ は成り立たない。

よって求める組は $$l\geqq 2,m=1,n\geqq 2$$ である。

対称行列の内積恒等式から異なる固有方向の直交を示す。指数不等式は指数だけを比較する。

(1)

対称行列の内積を使う。

直線 $y=\alpha x$、$y=\beta x$ の方向ベクトルを、それぞれ $\mathit{u},\mathit{v}$ とする。不変直線なので$$A\mathit{u}=\lambda \mathit{u},A\mathit{v}=\mu \mathit{v}$$と書ける。もし $\lambda =\mu$ なら、異なる2直線の方向ベクトルは一次独立だから $A=\lambda I$ となり、$b\mathrm{\ne }0$ に反する。よって $\lambda \mathrm{\ne }\mu$ である。

$A$ は対称行列なので$$(A\mathit{u})\cdot \mathit{v}=\mathit{u}\cdot (A\mathit{v})\mathrm{.}$$したがって$$\lambda \mathit{u}\cdot \mathit{v}=\mu \mathit{u}\cdot \mathit{v}\mathrm{.}$$$\lambda \mathrm{\ne }\mu$ より$$\mathit{u}\cdot \mathit{v}=0.$$ゆえに2直線は直交する。

(2)
$l=1$ では等号になる。$l\geqq 2$ では$$(l^m{)}^n>l^{m^n}⟺mn>m^n⟺n>m^{n-1}\mathrm{.}$$$m=1$ なら $n>1$、すなわち $n\geqq 2$ である。$m\geqq 2$ なら、$n=1$ では等号であり、$n\geqq 2$ では$$m^{n-1}\geqq 2^{n-1}\geqq n$$なので不可能である。以上より$$l\geqq 2,m=1,n\geqq 2\mathrm{.}$$