九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル理系数学 第4問(a)

$$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$$, $$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$$, $$\overrightarrow{OC}=\vec{c}$$とおく。

(1)
点$G$は $$\overrightarrow{OG}=k\vec{a}+k\vec{b}+k\vec{c}$$ である。四面体$OABC$の内部にある点は $\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}+\nu \vec{c}$ と表したとき $$\lambda >0,\mu >0,\nu >0,\lambda +\mu +\nu <1$$ を満たす。ここでは$\lambda =\mu =\nu =k$なので $k>0,3k<1$ である。したがって $0<k<{\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

(2)
点$P,Q,R$はそれぞれ$OA,OB,OC$方向に$p,q,r$倍した位置にある。したがって四面体$OPQR$の体積は四面体$OABC$の体積の$pqr$倍であり $${\displaystyle \frac{V^{\mathrm{\prime }}}{V}}=pqr$$ である。

(3)
平面$PQR$上の点は、$\lambda +\mu +\nu =1$を満たす実数$\lambda ,\mu ,\nu$を用いて $\lambda p\vec{a}+\mu q\vec{b}+\nu r\vec{c}$ と表される。これが$G$に等しいとすると $$\lambda p=k,\mu q=k,\nu r=k$$ である。よって $$\lambda +\mu +\nu ={\displaystyle \frac{k}{p}}+{\displaystyle \frac{k}{q}}+{\displaystyle \frac{k}{r}}=1$$ となる。したがって $$k={\displaystyle \frac{pqr}{pq+qr+rp}}$$ である。

(4)
$p=3k=1\mathrm{/}2$より $$p={\displaystyle \frac{1}{2}},k={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ である。(3)に代入して $${\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{(1\mathrm{/}2)qr}{(1\mathrm{/}2)q+qr+(1\mathrm{/}2)r}}$$ を得る。分母を払って整理すると $q+r=4qr$ である。 $u=qr$とおくと$q+r=4u$である。一方 $$q+r\geqq 2\sqrt{qr}=2\sqrt{u}$$ だから $4u\geqq 2\sqrt{u}$ である。$u>0$より $u\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。等号は$q=r$のときで、条件と合わせると$q=r=1\mathrm{/}2$で実現する。

このとき体積比は $${\displaystyle \frac{V^{\mathrm{\prime }}}{V}}=pqr={\displaystyle \frac{1}{2}}qr$$ なので、最小値は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。

四面体を $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ による斜交座標で見る。平面 $PQR$ は切片形 $X\mathrm{/}p+Y\mathrm{/}q+Z\mathrm{/}r=1$ をもち、$G=(k,k,k)$ を代入すれば共面条件が一行で得られる。

斜交座標で$$O=(0,0,0),A=(1,0,0),B=(0,1,0),C=(0,0,1)$$とする。

(1)
$G=(k,k,k)$ が内部にある条件は$$k>0,3k<1,$$従って$$0<k<{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$(2)
3方向の倍率が $p,q,r$ なので$${\displaystyle \frac{V^{\mathrm{\prime }}}{V}}=pqr\mathrm{.}$$(3)$$P=(p,0,0),Q=(0,q,0),R=(0,0,r)$$を通る平面は$${\displaystyle \frac{X}{p}}+{\displaystyle \frac{Y}{q}}+{\displaystyle \frac{Z}{r}}=1.$$$G=(k,k,k)$ を代入して$${\displaystyle \frac{k}{p}}+{\displaystyle \frac{k}{q}}+{\displaystyle \frac{k}{r}}=1,$$従って$$k={\displaystyle \frac{pqr}{pq+qr+rp}}\mathrm{.}$$(4)
$p=1\mathrm{/}2,k=1\mathrm{/}6$ より$${\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}=4.$$相加・相乗平均から$$4\geqq {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{qr}}},qr\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$等号は $q=r=1\mathrm{/}2$ で実現する。従って$$\min {\displaystyle \frac{V^{\mathrm{\prime }}}{V}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$\Needspace{8cm}