九州大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$X={\displaystyle \frac{x}{2}},Y={\displaystyle \frac{y}{n}}$$ とおく。すると楕円 $${\displaystyle \frac{x^2}{4}}+{\displaystyle \frac{y^2}{n^2}}=1$$ は $X^2+Y^2=1$ に移る。また直線 $$y={\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}}x$$ は、$y=nY,x=2X$ を代入して $Y=\sqrt{3}X$ となる。

したがって対応する領域は、単位円の第1象限内で、$X$ 軸と角 $\pi \mathrm{/}3$ をなす半径に挟まれた扇形である。この扇形の面積は $${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1^2\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$ である。変換 $$(X,Y)\mapsto (x,y)=(2X,nY)$$ によって面積は $2n$ 倍になるので $$S_n=2n\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{n\pi }{3}}$$ である。

次に格子点を数える。楕円の第1象限内では $0\leqq x\leqq 2$ であるから、整数 $x$ は $0,1,2$ だけである。 $x=0$ のときは、直線と $x$ 軸に挟まれるため $y=0$ のみである。$x=2$ のときは楕円上で $y=0$ となるので、これも $(2,0)$ のみである。 $x=1$ のとき、直線上の高さも楕円上の高さも ${\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}}$ で一致する。したがって $$0\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}}$$ を満たす整数 $y$ の個数は $\lfloor {\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}}\rfloor +1$ である。

以上より $$T_n=\lfloor {\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}}\rfloor +3$$ である。

(2)

床関数の性質より$${\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}}\leqq \lfloor {\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}}\rfloor +3<{\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}}+3$$である。したがって $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\leqq {\displaystyle \frac{T_n}{n}}<{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{n}}$$ であり、$n\to \mathrm{\infty }$ で $${\displaystyle \frac{T_n}{n}}\to {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ である。一方 $$S_n={\displaystyle \frac{n\pi }{3}}$$ なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{T_n}{S_n}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}\mathrm{/}2}{\pi \mathrm{/}3}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2\pi }}$$である。

領域を元の座標で縦に切り、直線部分と楕円部分を別々に積分する。格子点も整数 $x$ ごとに数える。

(1)

元の $x,y$ 座標で縦に切る。

直線と楕円が第1象限で交わる点は$$(1,{\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}})$$である。したがって$$S_n={\int }_0^1{\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}}xdx+{\int }_1^{2}n\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}dx\mathrm{.}$$第2積分で $x=2\cos \theta$ とおくと$${\int }_1^{2}n\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}}dx=2n{\int }_0^{\pi \mathrm{/}3}{\sin }^2\theta d\theta =n({\displaystyle \frac{\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}})\mathrm{.}$$第1積分は $n\sqrt{3}\mathrm{/}4$ なので$$S_n={\displaystyle \frac{n\pi }{3}}\mathrm{.}$$整数 $x$ は $0,1,2$ のみである。$x=0,2$ では各1点、$x=1$ では$$y=0,1,\dots ,\lfloor {\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}}\rfloor$$だから$$T_n=\lfloor {\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}}\rfloor +3\mathrm{.}$$(2)$$0\leqq {\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}}-\lfloor {\displaystyle \frac{n\sqrt{3}}{2}}\rfloor <1$$より$${\displaystyle \frac{T_n}{n}}⟶{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\mathrm{.}$$したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{T_n}{S_n}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2\pi }}\mathrm{.}$$