九州大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
円周 $C$ は球面 $S$ 上にある。$C$ 上を動く点を $X$ とすると、球面の方程式は $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OX}{\mathrm{\mid }}^2=1$$ である。点 $P$ における接線方向を $\vec{v}$ とすると、$\mathrm{\mid }\overrightarrow{OX}{\mathrm{\mid }}^2$ を点 $P$ で動かしたときの一次の変化は $2\overrightarrow{OP}\cdot \vec{v}$ であり、球面上ではこれが $0$ でなければならない。したがって $$\overrightarrow{OP}\cdot \vec{v}=0$$ である。よって接線 $l$ は $\overrightarrow{OP}$ に直交する。

(2)
点 $P$ における球面の接平面 $\beta$ は、半径 $\overrightarrow{OP}$ に垂直である。$$P=(1\mathrm{/}\sqrt{3},1\mathrm{/}\sqrt{3},1\mathrm{/}\sqrt{3})$$ だから $${\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{y}{\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{z}{\sqrt{3}}}=1$$ すなわち $x+y+z=\sqrt{3}$ である。$\beta$ の法線ベクトルは $(1,1,1)$、$xy$ 平面の法線ベクトルは $(0,0,1)$ である。したがって二平面のなす角 $\theta$ について$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }(1,1,1)\cdot (0,0,1)\mathrm{\mid }}{\sqrt{3}\cdot 1}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$である。

(3)
平面 $\alpha$ の法線ベクトルを $(u,v,w)$ とする。$\alpha$ は点 $P$ と点 $A=(\sqrt{3}\mathrm{/}2,0,0)$ を通るので、同じ平面の方程式に代入して $${\displaystyle \frac{u+v+w}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}u$$ である。よって $v+w={\displaystyle \frac{1}{2}}u$ を得る。

接線 $l$ は、平面 $\alpha$ と接平面 $\beta$ の交線である。したがってその方向ベクトルは、$(u,v,w)$ と $(1,1,1)$ の両方に垂直な $$\vec{d}=(v-w,w-u,u-v)$$ に平行である。

直線 $l$ と $xy$ 平面とのなす角が (2) の $\theta$ であるから、$\vec{d}=(d_1,d_2,d_3)$ とすると $${\displaystyle \frac{\sqrt{d_1^2+d_2^2}}{\sqrt{d_1^2+d_2^2+d_3^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ である。これを二乗して $2(d_1^2+d_2^2)=d_3^2$ となる。

ここで $v+w=u\mathrm{/}2$ より $u=2v+2w$ である。したがって $$\vec{d}=(v-w,-2v-w,v+2w)$$ となる。角の条件へ代入すると $$2\{(v-w{)}^2+(-2v-w{)}^2\}=(v+2w{)}^2$$ であり、整理して $9v^2=0$ を得る。よって $v=0$ である。さらに $v+w=u\mathrm{/}2$ から $u=2w$ で、$w=0$ なら法線ベクトルが零ベクトルになるため $w\mathrm{\ne }0$ である。

したがって $\alpha$ の法線は $(2,0,1)$ に平行である。点 $P$ を通るので $$2x+z=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$$ である。よって求める平面は $2x+z=\sqrt{3}$ である。

接線の方向ベクトルを $(p,q,r)$ と置き、球面の接線条件と直線・平面の角の条件を直接連立する。得られた接線方向と、平面 $\alpha$ 内のもう一本の方向から法線を決める。

(1)
$C$ 上の点 $X$ では$$\overrightarrow{OX}\cdot \overrightarrow{OX}=1.$$点 $P$ で接線方向へ微小に動くとき、その方向ベクトルを $\vec{d}$ とすれば一次の変化は$$2\overrightarrow{OP}\cdot \vec{d}=0.$$したがって $l\perp \overrightarrow{OP}$ である。

(2)
$\beta$ の法線は $\overrightarrow{OP}$ に平行で、$(1,1,1)$ を取れる。$xy$ 平面の法線は $(0,0,1)$ だから$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$(3)
$l$ の方向ベクトルを $(p,q,r)$ とする。(1) より$$p+q+r=0.$$直線 $l$ と $xy$ 平面とのなす角が $\theta$ だから$${\displaystyle \frac{\sqrt{p^2+q^2}}{\sqrt{p^2+q^2+r^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$二乗して $2(p^2+q^2)=r^2$ を得る。$r=-(p+q)$ を代入すると$$2(p^2+q^2)=(p+q{)}^2,(p-q{)}^2=0.$$よって $p=q$、$r=-2p$ であり、$l$ の方向として$$\vec{d}=(1,1,-2)$$を取れる。

$A=(\sqrt{3}\mathrm{/}2,0,0)$ とすると、$\alpha$ は $P,A$ を通るので$$\overrightarrow{PA}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{3}}}(1,-2,-2)$$も $\alpha$ 内の方向である。法線 $(u,v,w)$ は$$u+v-2w=0,u-2v-2w=0$$を満たす。差を取ると $v=0$、さらに $u=2w$ だから、法線は $(2,0,1)$ に平行である。点 $P$ を通ることから$$2x+z=\sqrt{3}\mathrm{.}$$